相似三角形经典练习题(4套)附带答案

练习（一）练习（一） 一、填空题： 1. 已知 ab ab 2 2 9 5 ，则ab： _ 2. 若三角形三边之比为 3：5：7，与它相似的三角形的最长边是 21cm，则其余两边之和是_cm 3. 如图， ABC中， D、 E分别是AB、 AC的中点， BC=6， 则DE=_； ADE与ABC的面积之比为： _。 题 3 题 7 题 8 4. 已知线段 a=4cm，b=9cm，则线段 a、b 的比例中项 c 为_cm。 5. 在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，如果 AD=8，DB=6，EC=9，那么 AE=_ 6. 已知三个数 1，2，3，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是_ 7. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，EFBC，若 AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则 EF=_ 8. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，A=90，BDCD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：_ 二、选择题： 1. 如果两个相似三角形对应边的比是 3：4，那么它们的对应高的比是_ A. 9：16 B. 3：2 C. 3：4 D. 3：7 2. 在比例尺为 1： m 的某市地图上， 规划出长 a 厘米， 宽 b 厘米的矩形工业园区， 该园区的实际面积是_ 米 2 A. 104m ab B. 104 2 m ab C. abm 104 D. abm2 4 10 3. 已知，如图，DEBC，EFAB，则下列结论： 题 3 题 4 题 5 AE EC BE FC AD BF AB BC EF AB DE BC CE CF EA BF 其中正确的比例式的个数是_ A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 4. 如图，在ABC 中，AB=24，AC=18，D 是 AC 上一点，AD=12，在 AB 上取一点 E，使 A、D、E 三点为顶点组成的 三角形与ABC 相似，则 AE 的长是_ A. 16 B. 14 C. 16 或 14 D. 16 或 9 5. 如图，在 RtABC 中，BAC=90，D 是 BC 的中点，AEAD，交 CB 的延长线于点 E，则下列结论正确的是 _ A. AEDACB B. AEBACD C. BAEACE D. AECDAC 三、解答题： 1. 如图，ADEGBC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求 GF 的长。 2. 如图，ABC 中，D 是 AB 上一点，且 AB=3AD，B=75，CDB=60，求证：ABCCBD。 3. 如图，BE 为ABC 的外接圆 O 的直径，CD 为ABC 的高，求证：ACBC=BECD。 4. 如图， RtABC 中， ACB=90， AD 平分CAB 交 BC 于点 D， 过点 C 作 CEAD 于 E， CE 的延长线交 AB 于点 F， 过点 E 作 EGBC 交 AB 于点 G，AEAD=16，AB 4 5。 （1）求证：CE=EF。 （2）求 EG 的长。 5. 如图，已知 DEBC，EFAB，则下列比例式错误的是：_ A AD AB AE AC B CE CF EA FB . C DE BC AD BD D EF AB CF CB . 6. 如图，在等边ABC 中，P 为 BC 上一点，D 为 AC 上一点，且APD=60， BPCDABC1 2 3 ，求的边长 7. 如图：四边形 ABEG、GEFH、HFCD 都是边长为 a 的正方形， （1）求证：AEFCEA。 （2）求证：AFB+ACB=45。 8. 已知：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AC、BD 交于点 O，EF 经过点 O 且和两底平行，交 AB 于 E，交 CD 于 F。 求证：OE=OF。 9. 已知：如图，ABC 中，ADBC 于 D，DEAB 于 E，DFAC 于 F。求证： AE AF AC AB 10. 如图，D 为ABC 中 BC 边上的一点，CAD=B，若 AD=6，AB=8，BD=7，求 DC 的长。 11. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，BEAC 于 F，过 F 作 FGAB 交 AE 于 G，求证：AG 2=AFFC 。 12.在梯形 ABCD 中，ADBC，若BCD 的平分线 CHAB 于点 H，BH=3AH，且四边形 AHCD 的面积为 21，求HBC 的 面积。 练习二练习二 一、一、 精心选一选（每小题精心选一选（每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 1. 下列各组图形有可能不相似的是( ). (A)各有一个角是 50 的两个等腰三角形 (B)各有一个角是 100 的两个等腰三角形 (C)各有一个角是 50 的两个直角三角形 (D)两个等腰直角三角形 2. 如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，在条件（1）ACDB， （2）AC 2ADAB， （3）AB 边上与点 C 距离相等的点 D 有两个， （4）BACB 中，一定使ABCACD 的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 3如图，ABDACD，图中相似三角形的对数是（ ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 4.如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 上任意一点，则有（ ） （A）ABE 的周长CDE 的周长BCE 的周长 （B）ABE 的面积CDE 的面积BCE 的面积 （C）ABEDEC （D）ABEEBC 5.如果两个相似多边形的面积比为 9:4,那么这两个相似多边形的相似比为( ) A.9:4 B.2:3 C.3:2 D.81:16 6. 下列两个三角形不一定相似的是（ ） 。 A. 两个等边三角形 B. 两个全等三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个等腰直角三角形 7. 若ABC，A=40, B=110,则 C =( ) A. 40 B110 C70 D30 8.如图，在 ABC 中，AB=30，BC=24，CA=27， AE=EF=FB，EGFDBC，FMEN AC，则图中阴影部分的三个三角形的周长之和为（ ） A、70 B、75 C、81 D、80 二、细心填一填二、细心填一填 （每小题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9.如图，在ABC 中，BAC90，D 是 BC 中点，AEAD 交 CB 延长线于点 E，则BAE 相似于_ 10、在一张比例尺为 1：10000 的地图上，我校的周长为 18cm，则我校的实际周长为 。 11、如果两个相似三角形对应高的比为 4：5，则这两个三角形的相似比是 ，它们的面积的比是 。 12、已知ABCDEF,AB=21cm,DE=28cm,则ABC 和DEF 的相似比为 13、 某同学利用影子长度测量操场上旗杆的高度，在同一时刻，他测得自己影子长为 0.8m，旗杆的影子长为 7m， 已知他的身高为 1.6m，则旗杆的高度为 m 14. 在长 8cm，宽 6cm 的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_cm2 15.如图，由边长为 1 的 25 个小正方形网格上有一个与ABC 相似且面积最大的A1B1C1，使它的三个顶点都落在 小正方形的顶点上，则A1B1C1的面积为_ 16. 如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地上形成阴影（圆形 ）的示意图，已 知桌面的直径为 1.2 米，桌面距地面 1 米，灯泡距地面 3 米，则地上阴影部分的面积是_. 三、小试牛刀（三、小试牛刀（17 题题 10 分、分、18 题题 8 分分,19 9、2020 题题 7 分分,共共 32 分）分） CBA 17. 如图，点 C、D 在线段 AB 上，PCD 是等边三角形 （1）当 AC、CD、DB 满足怎样的关系时，ACPPDB？ （2）当ACPPDB 时，求APB 的度数 18如图，BD、CE 为ABC 的高，求证AEDACB 19.已知一矩形稻田可产稻谷 100 公斤，按此规律计算，若将此稻田长宽分别扩大两倍，则可产稻谷多少公斤？ 20. 已知：如图，BC 为半圆的直径，O 为圆心，D 是弧 AD 的中点，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 E。求证： ABEDBC。 四、创新与应用（四、创新与应用（12 分）分） 21. （本题 7 分）如图，四边形 DEFG 是 ABC 的内接矩形，如果 ABC 的高线 AH 长 8cm，底边 BC 长 10cm， 设 DG=xcm，DE=ycm，求 y 关于 x 的函数关系式 五、科学与探究五、科学与探究 （20 分分) 22. 在OAB 中，O 为坐标原点，横、纵轴的单位长度相同，A、B 的坐标分别为(8，6)，(16，0)，点 P 沿 OA 边从 点 O 开始向终点 A 运动，速度每秒 1 个单位，点 Q 沿 BO 边从 B 点开始向终点 O 运动，速度每秒 2 个单位，如果 P、 Q 同时出发，用 t(秒)表示移动时间，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。 求(1)几秒时PQAB (2)设OPQ的面积为y，求y与t的函数关系式 (3)OPQ与OAB能否相似，若能，求出点P的坐标， 若不能，试说明理由 练习三练习三 一填空题（基础） 1 如图，ABCMNP，则它们的对应角分别是A与_,B与_， C与_；对应边成比例的是_=_=_;若AB=2.7cm,cmMN9 . 0,cmMP1, 则相似比=_,BC_cm. 2 如图,四边形ABCD中,ADEFBC,AC交EF于G.图中能相似的三角形共有_对,它们分别是 _、_,小明通过这两对相似三角形推出了比例式： AB BE AD FG ，对不对，为什么？ 二填空题 3 如图，ABC和DEF的三边长分别为 7、2、6 和 12、4、14，且两三角形相似，则A与_,B与 _，C与_， )( )( )( AC DF AB 。 4 如图，ABCAEF，写出三对对应角：_=_,_=_, _=_, 并 且 )( )( )( )( )( AF , 若ABC与AEF的 相 似 比 是 3 ： 2 ，cmEF8， 则 _BC。 5 如图，ABC中，点D在BC上，EFBC，分别交AB、AC、AD于点E、F、G，图中共有_ 对相似三角形，它们是_. 6 如图，平行四边形ABCD中，上的一点，是 4 3 EC BE BCE，于点交FBDAEBF 的值。及，求DF DA BE cm6 B A G F E D C B A N P M C （第2题） （第1题） （第5题） （第4题）（第3题） C G F E DC B A F E B A E F D C B A 三选择题 1下列命题中不正确的是（ ） A如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似。 B如果两个三角形相似，且相似比为 1，那么这两个三角形全等。 C如果两个三角形与第三个三角形相似，那么这两个三角形相似。 D如果两个三角形相似，那么这两个三角形全等。 2给出下列四个命题，其中真命题有（ ） （1）等腰三角形都是相似三角形 （2）直角三角形都是相似三角形 （3）等腰直角三角形都是相似三角形 （4）等边三角形都是相似三角形 A1 个 B2 个 3 个 4 个 四综合题 如图，ADABBC,、EFEECD作，过点相交于点，于点，交FACAD写出图中所有相似三角形，并说明 理由。 练练习四习四 一、选择题： 1、下面四组线段中，不能成比例的是（ ） A、4, 2, 6, 3dcba B、3,6,2, 1dcba C、10, 5, 6, 4dcba D、32,15, 5, 2dcba 2、等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ） A、1:3 B、2:3 C、 2 3 : 2 1 D、1：3 F E D C B A F E D C B A 3、已知 754 zyx ，则下列等式成立的是（ ） A、 9 1 yx yx B、 16 7 z zyx C、 3 8 zyx zyx D、xzy3 4、已知直角三角形三边分别为babaa2,，0, 0ba，则ba:（ ） A、1：3 B、1：4 C、2：1 D、3：1 5、ABC 中，AB12，BC18，CA24，另一个和它相似的三角形最长的一边是 36，则最短的 一边是（ ） A、27 B、12 C、18 D、20 6、已知cba,是ABC 的三条边，对应高分别为 cba hhh,，且6:5:4:cba，那么 cba hhh:等 于（ ） A、4：5：6 B、6：5：4 C、15：12：10 D、10：12：15 7、一个三角形三边长之比为 4：5：6，三边中点连线组成的三角形的周长为 30cm，则原三角形 最大边长为（ ） A、44 厘米 B、40 厘米 C、36 厘米 D、24 厘米 8、下列判断正确的是（ ） A、不全等的三角形一定不是相似三角形 B、不相似的三角形一定不是全等三角形 C、相似三角形一定不是全等三角形 D、全等三角形不一定是相似三角形 二、填空题： 9、如图，AEDABC，其中1B，则 ABBC AD_ _ 。 第 9 题图 10、如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图已 知桌面的直径为m2 . 1，桌面距离地面m1，若灯泡O距离地面m3，则地面上阴影部分的面积 为 11、如图，梯形 ABCD 中，DCAB，DC2cm，AB3.5cm，且 MNPQAB， DMMPPA，则 MN ，PQ 。 第 11 题图 第 12 题图 D C M P N Q A B A D B F E C E A D B C 1 第 10 题图 O （第18题图） 第 16 题图 A D C F B E 12、如图，四边形 ADEF 为菱形，且 AB14 厘米，BC12 厘米，AC10 厘米，那 BE 厘 米。 13、梯形的上底长 1.2 厘米，下底长 1.8 厘米，高 1 厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高 为 厘米。 14、两个相似三角形的最短边分别是cm9和cm6，它们的周长和是cm60，则大三角形的周长为 _cm，小三角形的周长为_cm 三、解答题： 15、如图，RtABC 中斜边 AB 上一点 M，MNAB 交 AC 于 N，若 AM3 厘米，AB：AC5：4，求 MN 的长。 解：解： 第 15 题图 16已知：如图，在ABC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上， 且四边形CDEF是正方形，3AC，2BC，求ADE、EFB、 ACB的周长之比和面积之比 解：解： 17、 如图，），（ 04A、），（ 20B是直角坐标系中的两点， 点C在x轴上 （C与A不重合） ， 若由点B、O、 C组成的三角形与AOB相似（不含全等） 求出C点的坐标，并画出图形； 解：解： 第 17 题图 C B M N A y O A（4，0） x B（0，2） 18、已知：如图，梯形 ABCD 中，ABDC，E 是 AB 的中点，直线 ED 分别与对角线 AC 和 BC 的延长线 交于 M、N 点 求证：MD：MEND：NE 证明：证明： 第 18 题图 N D C A E B M 答案 一、填空题： 1. 19：13 2. 24 3. 3；1：4 4. 6 5. 12 6. 只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的 比值即可，如：2 2 2 2 、等。 7. 14.4 8. 16 6 二、选择题： 1. C 2. D 3. B 4. D 5. C 三、解答题： 1. 解：解：ADEGBC 在ABC 中，有 EG BC AE AB 在ABD 中，有 EF AD BE AB AE：AB=2：3 BE：AB=1：3 EGBCEFAD 2 3 1 3 ， BC=9，AD=6 EG=6，EF=2 GF=EGEF=4 2. 解：解：过点 B 作 BECD 于点 E， CDB=60，CBD=75 DBE=30， CBE=CBDDBE=7530=45 CBE 是等腰直角三角形。 AB=3AD，设 AD=k，则 AB=3k，BD=2k DE=k，BE3k BCk6 BD BC k k 2 6 2 3 ， BC AB k k 6 3 2 3 BD BC BC AB ABCCBD 3. 连结 EC， BCBC E=A 又BE 是O 的直径 BCE=90 又CDAB ADC=90 ADCECB AC EB CD BC 即 ACBC=BECD 4. （1）AD 平分CAB CAE=FAE 又AECF CEA=FEA=90 又AE=AE ACEAFE（ASA） CE=EF （2）ACB=90，CEAD，CAE=DAC CAEDAC AC AD AE AC ACAEAD 2 16 在 RtACB 中 BCABAC 2222 4 51664() BC 8 又CE=EF，EGBC FG=GB EG 是FBC 的中位线 EGBC 1 2 4 5. . 由，可知， 、 、 都正确。而不能得到，DEBCEFABABD DE BC AD BD 故应选 C。 利用平行线分线段成比例定理及推论求解时， 一定要分清谁是截线、谁是被截 线， 中很显然是两平行线段的比，因此应是利用三角相似后对应边成比C DE BC 例这一性质来写结论，即 DE BC AD AB AE AC 6. ABC 是等边三角形 C=B=60 又PDC=1+APD=1+60 APB=1+C=1+60 PDC=APB PDCAPB PC AB CD PB 设 PC=x，则 AB=BC=1+x ， x x x 1 2 3 1 2 AB=1+x=3。 ABC 的边长为 3。 7 证明：证明： （1）四边形 ABEG、GEFH、HFCD 是正方形 AB=BE=EF=FC=a，ABE=90 ，AEaECa22 ， AE EF a a EC AE a a 2 2 2 2 2 AE EF EC AE 又CEA=AEF CEAAEF （2）AEFCEA AFE=EAC 四边形 ABEG 是正方形 ADBC，AG=GE，AGGE ACB=CAD，EAG=45 AFB+ACB=EAC+CAD=EAG AFB+ACB=45 8.证明：证明：ADEFBC ， OE BC AE AB OE AD EB AB OE BC OE AD AE AB EB AB AB AB 1 111 BCADOE 同理： 111 BCADOF 11 OEOF OE=OF 从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的 结论： ADEFBC ADBCOE 111 ADEFBCOEOFEF 1 2 ADEFBC ADBCOE 111 1 1 2 2 EF OF 即 112 ADBCEF 这是梯形中的一个性质，由此可知，在 AD、BC、EF 中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段 的长度。 9.证明：证明：在ABD 和ADE 中， ADB=AED=90 BAD=DAE ABDADE AB AD AD AE AD 2=AEAB 同理：ACDADF 可得：AD 2=AFAC AEAB=AFAC AE AF AC AB 10.解：解：在ADC 和BAC 中 CAD=B，C=C ADCBAC AD AB DC AC AC BC 又AD=6，AD=8，BD=7 DC AC AC DC 7 3 4 即 DC AC AC DC 3 4 7 3 4 解得：DC=9 11.证明：证明：在矩形 ABCD 中，AD=BC， ADC=BCE=90 又E 是 CD 的中点，DE=CE RtADERtBCE AE=BE FGAB AE BE AG BF AG=BF 在 RtABC 中，BFAC 于 F RtBFCRtAFB AF BF FB FC BF 2=AFFC AG 2=AFFC 12. 分析：分析：因为问题涉及四边形 AHCD，所以可构造相似 三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。 解：解：延长 BA、CD 交于点 P CHAB，CD 平分BCD CB=CP，且 BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3 ADBC PADPBC ： SS PADPBC 19 SS PCHPBC 1 2 ： 四边形 SS PADAHCD 27 四边形 S AHCD 21 S PAD 6 S PBC 54 SS HBCPBC 1 2 27 参考答案参考答案 一、1.A 2.B 3.C 4. B 5. C 6. C 7 D 8 C 二、9. ACE 10 1800 米 11. 4:5,16:25 12. 3:4 13.14 14. 27 15. 5 16. 0.81 米 2 三、17. （1）CD2=ACDB （2）1200 18.先证ABDACE 可得 AE：AD=AC：AB,加上 A=A 可证ADEABC 得AEDA