江苏徐州高二数学期中理

江苏省徐州市20182019学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、填空题（不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1.=_【答案】60【解析】【分析】根据排列数公式计算即可.【详解】54360故答案为：60【点睛】本题主要考查了排列数公式，属于基础题2.若i是虚数单位，且复数z满足z3i，则_【答案】【解析】【分析】由已知直接代入复数模的计算公式求解【详解】z3i，|z|故答案为：【点睛】本题考查复数模的求法，是基础题3.用反证法证明命题“如果mn，那么”时，假设的内容应该是_【答案】假设【解析】【分析】由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，由此得出结论【详解】用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“m7n7”的否定为：“m7n7”，故答案为：假设m7n7【点睛】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题4.若，则x的值为_【答案】3或4【解析】【分析】结合组合数公式结合性质进行求解即可【详解】由组合数的公式和性质得x2x3，或x+2x39，得x3或x4，经检验x3或x4都成立，故答案为：3或4.【点睛】本题主要考查组合数公式的计算，结合组合数的性质建立方程关系是解决本题的关键5.已知复数（虚数单位），则_【答案】-1【解析】【分析】把代入32，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】，32故答案为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题6.用灰、白两种颜色的正六边形瓷砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第6个图案中正六边形瓷砖的个数是_【答案】37【解析】【分析】通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可【详解】第1个图案中有灰色瓷砖6块，白色瓷砖1块第2个图案中有灰色瓷砖11块，白色瓷砖2块；第3个图案中有灰色瓷砖16块，白色瓷砖3块；设第n个图案中有瓷砖an块，用数列表示，则6+17，11+213，16+319，可知6，数列是以7为首项，6为公差的等差数列，7+6（n1）6n+1，37，故答案为：37.【点睛】本题考查了归纳推理的问题，属于基础题.7.有这样一段“三段论”推理，对于可导函数，大前提：如果，那么是函数的极值点；小前提：因为函数在处的导数值，结论：所以是函数的极值点以上推理中错误的原因是_错误（“大前提”，“小前提”，“结论”）【答案】大前提【解析】因为导数等于零的点不一定是极值点.如函数y=x3,它在x=0处导数值等于零，但x=0不是函数y=x3的极值点.因为只有此值两侧的导数值异号时才是极值点8.用数学归纳法证明（，n1）时，第一步应验证的不等式是_【答案】【解析】试题分析：式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到，所以答案为。考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤。点评：简单题，理解式子的结构特点，计算要细心。9.在AOB的边OA上有4个点，边OB上有5个点，加上O点共10个点，以这10个点为顶点的三角形有_个【答案】90【解析】【分析】构成三角形的三个点不共线，所以在12个点中任意取3个点构成三角形的情况中把在同一直线上的点除外即可【详解】C310C35C3690故答案为：90【点睛】此题既考查了计数原理的知识，又复习了构成三角形的条件，是一道较容易的题目.10.已知复数z满足等式，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，数形结合得答案【详解】|z1i|1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹，如图：|z3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.由图可知，|z3|的最大值为故答案为：【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题11.某学校将甲、乙等6名新招聘的老师分配到4个不同的年级，每个年级至少分配1名教师，且甲、乙两名老师必须分到同一个年级，则不同的分法种数为_【答案】240【解析】【分析】根据人数进行分组分1，1，1，3或1，1，2，2，结合甲乙一组，然后进行讨论即可【详解】6名老师分配到4个不同的年级，每个年级至少分配1名教师，则四个年级的人数为1，1，1，3或1，1，2，2，因为甲、乙两名老师必须分到同一个年级，所以若甲乙一组3个人，则从剩余4人选1人和甲乙1组，有C4，然后全排列有4A96，若人数为1，1，2，2，则甲乙一组，剩余4人分3组，从剩余4人选2人一组有C6，然后全排列有6A144，共有144+96240，故答案为：240【点睛】本题主要考查排列组合的应用，结合条件进行分组，讨论人数关系是解决本题的关键12.如图(1)所示，点O是内任意一点，连结 ，并延长分别交对边于 ,则，类比猜想：点O是空间四面体 内的任意一点，如图(2)所示，连结并延长分别交平面 ，平面 ，平面 ，平面于点 ，则有_【答案】【解析】【分析】先根据所给的定理写出猜想的定理，把面积类比成体积，把面积之和等于1，写成体积之和等于1，再进行证明【详解】利用类比推理，猜想，点O是空间四面体VBCD内的任意一点，连结VO，BO，CO，DO并延长分别交面BCD，VCD，VBD，VBC于点V1，B1，C1，D1，应有；用“体积法”证明如下：.故答案为：【点睛】本题主要考查类比推理，用平面中图形的线段的性质类比立体图形中的体积的性质，属于基础题13.设二项展开式，则 _【答案】82【解析】【分析】的展开式两边对x求导后，令x1，可得：a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6由二项展开式，令x0，可得：a0（2）6即可得出结论【详解】二项展开式，两边对x求导可得：63（3x2）5 令x1，可得：a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a618由二项展开式，令x0，可得：a0（2）664a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a618+6482故答案为：82【点睛】本题考查了二项式定理的求值、导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14.54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，当手中最后只剩下一张扑克牌时，这张是最开始的扑克牌顺序中从上面数的第_张【答案】44【解析】【分析】按规则将过程一一呈现罗列出来即可得解【详解】第一次剩下卡片是27张：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，54，第二次剩下的卡片是14张：54，4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，第三次剩下的卡片是7张：4，12，20，28，36，44，52，第四次剩下的卡片是4张：52，12，28，44，第五次剩下的卡片是2张：12，44第六次剩下的卡片是1张：44故答案为：44【点睛】此题主要考查了数字规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的二、解答题（请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知复数（）（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围【答案】（1）（2）（2，3）【解析】【分析】（1）由纯虚数的概念列方程组求解即可；（2）由复数的几何意义得，解不等式即可得解.【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以，解之得，（2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，解之得，得所以实数的取值范围为（2，3）【点睛】本题主要考查了复数的概念及复数的几何意义，属于基础题.16.在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列（1）求展开式中的所有有理项；（2）求二项式系数最大的项【答案】（1），（2）和【解析】试题分析：解：（1）由题设可知2分解得n=8或n=1（舍去）当n=8时，通项4分据题意，必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0r8 r=0，4，8，故x的有理项为，6分（2）设第r+1项的系数tr+1最大，显然tr+10，故有1且1， 由1得r3 9分又，由1得：r2 11分 r=2或r=3所求项为和13分考点：等差数列；两项式定理；点评：两项式定理经常作为考点。在两项式的展开式中，第项是。17.把5件不同产品摆成一排（1）若产品A必须摆在正中间，排法有多少种？（2）若产品A必须摆在两端，产品B不能摆在两端的排法有多少种？（3）若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的排法有多少种？【答案】（1）24种 （2）36种（3）36种【解析】【分析】(1)将A放中间,其他全排列即可;(2)先排A,再排B,其他全排即可;(3)将AB捆绑,进行排列,减去AC相邻的情况即可.【详解】（1）A摆在正中间，其他4个产品进行全排列，故共有（种）排法（2）分三步，第一步将产品A摆在两端，有2种；第二步将产品B摆在中间三个位置之一，有3种排法；第三步将余下的三件产品摆在余下三个位置，有种排法，故共有（种）排法（3）将A，B捆绑在一起，有种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有种摆法，共有（种）摆法，而A，B，C三件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有（种）摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有48-12=36（种）【点睛】本题主要考查了排列问题，涉及相邻问题用捆绑，特殊元素优先排，正难则反的技巧，属于中档题.18.已知数列的前n项和为，且，()（1）求，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出的表达式【答案】（1）解 an=Sn-Sn-1（n2）Sn=n2（Sn-Sn-1），Sn=Sn-1（n2）a1=1，S1=a1=1.S2=，S3=，S4=， 6分猜想Sn=（nN*）. 7分（2）证明 当n=1时，S1=1成立.假设n=k（k1,kN*）时，等式成立，即Sk=，当n=k+1时，Sk+1=（k+1）2ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，ak+1=，Sk+1=（k+1）2ak+1=，n=k+1时等式也成立，得证.根据、可知，对于任意nN*，等式均成立.13分又ak+1=，an=. 15分【解析】【分析】（1）根据数列中和关系式，得到，进而由，即可分别求解得值，归纳猜想的表达式；（2）用数学归纳法作出证明：第一步，先证明时，结论成立，第二步，假设时成立，证明时也成立，即可得到结论成立【详解】解：(1)因为anSnSn1(n2)所以Snn2(SnSn1)，所以SnSn1(n2)因为a11，所以S1a11.所以S2，S3，S4，猜想Sn (nN*)(2)当n1时，S11成立假设nk(k1，kN*)时，等式成立，即Sk，当nk1时，Sk1(k1)2ak1ak1Skak1，所以ak1，所以Sk1(k1)2ak1.所以nk1时等式也成立，得证所以根据、可知，对于任意nN*，等式均成立由Snn2an，得n2an，所以an.【点睛】本题主要考查了数列问题的归纳、猜想与证明，以及数学归纳法的应用问题，其中解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证时成立；（2）假设当时成立，证得也成立；（3）得到证明的结论其中在到的推理中必须使用归纳假设着重考查了推理与论证能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题19.已知圆具有以下性质：设A，B是圆C：上关于原点对称的两点，点P是圆上的任意一点若直线PA，PB的斜率都存在并分别记为，则1，是与点P的位置无关的定值（1）试类比圆的上述性质，写出椭圆的一个类似性质，并加以证明；（2）如图，若椭圆M的标准方程为，点P在椭圆M上且位于第一象限，点A，B分别为椭圆长轴的两个端点，过点A，B分别作PA，PB，直线，交于点C，直线与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围（可直接使用（1）中证明的结论）【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）设点，则点，由，由椭圆方程带入化简可得解；（2）设AP的斜率为k，结合（1）中的结论可得直线AC、BC和BQ的方程，联立直线方程可得和，由，结合可得解.【详解】（1）性质：设A，B是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上的任意一点若直线，的斜率都存在并分别记为，则是与点的位置无关的定值证明：设点，则点，从而设点则，则，故是与点P的位置无关的定值（2）设AP的斜率为k，因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以由（1）结论可知，所以BP的斜率为因为，所以，则AC的方程为因为，所以，则BC的方程为.由，得，即设，因为，且直线的斜率，所以的斜率为，则的方程为联立方程，得，即则因为，所以.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，利用好第一问的结论，通过斜率的乘积为定值得到各直线方程，联立求交点是解题的关键，属于难题.20.（1）用反证法证明：若角A，B为三角形ABC的内角，且AB，则cosB0；（2）证明：当a0，b0，且ab时，有【答