高考数学合理巧设函数与导数压轴题素材

合理“巧设”，轻松应对函数与导数压轴题函数与导数的交汇问题经常出现在压轴题（包括客观题和主观题中的压轴题）位置解决这类问题时，往往会遇到某些难以确定的根、交点、极值点或难以计算的代数式.倘若迎难而上，往往无功而返；这时，放弃正面求解所需要的量，先设它为某字母，再利用其满足的条件式进行整体代换以达到消元或化简的效果.下面通过介绍几种具体的“设”的方法来解决这类难题.一、根据函数的单调性，巧设自变量【例1】（2013四川卷理）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【解析】 易知为单调递增函数.设 ，又，由单调性则 . 下面证明. 若，由单调性则，则与已知矛盾，.所以必有.代入即.曲线上存在点，使得，等价为：在上存在解.即在上有解.设，则.在上，所以，则在上单调递增，所以.故. 故选A.【评注】由的单调性可知, 对于,则必存在唯一的自变量,使得,从而有.这样方便表达.【变式1】（2015石家庄高三教学检测一）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】易知为单调递增函数.同例1，有.曲线上存在点，使得，等价为：在上存在解.即在上有解.设，则在上单调递增，所以.故. 故选A.【变式2】（2016届广雅中学高三开学测试）已知是定义在上的单调函数，且对，都有，则方程的实数解所在的区间是（ ）.A. B. C. D. 【答案】因为是定义在上的单调函数，所以存在唯一，使得 .又，故有，解得.用代替，则有 .由解得.将代入化简，得.令，因为，又在上单调递增，故在上存在唯一零点，即方程的实数解所在的区间是.故选C.二、根据两个函数的图象，巧设交点的横坐标【例2】(2015四川卷理)已知函数，.对于不相等的实数，设.现有如下命题：对于任意不相等的实数，都有；对于任意的及任意不相等的实数，都有；对于任意的，存在不相等的实数，使得；对于任意的，存在不相等的实数，使得.其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）.【解析】对于，由的单调递增的性质可知，故正确.对于，由先单调递减再递增的性质可知，存在的情形，故不正确.对于，等价于，即，即.设，则.此时由和的图象（如下图）可知，调整合适的可使的图象全在的图象之下，这时恒成立，所以单调递增. 据此分析可知：存在，使得对于不相等的实数，不可能有，即不可能有，故不正确.对于，等价于，即，即.设，则.此时由和的图象（如下图）可知，两者必有交点，设交点横坐标为.由简图可知，当时，则，单调递减；时，则，单调递增.于是，对于任意的，由单调性可知：存在不相等的实数，使得，即成立.故正确.综上，所给命题中的真命题有、. 【评注】当导函数为超越函数时，有时我们无法直接求得零点，即便二次求导也难以奏效.这时不妨将其转化为研究两个简单函数的图象的交点问题.由图象可直观获得两图象的高低情况（对应函数值的大小比较），从而轻松判断导函数的正负情况.为了方便表述，可设两图象的交点的横坐标为.【变式3】（2015郑州市质量预测节选）给定方程：，探究该方程在的实数根的个数.【答案】设，则.由简图可知，与在有唯一交点. 设两图象的交点的横坐标为.由简图可知，当时，则，单调递减；时，则，单调递增.所以在处取得极小值.结合和，可得的简图如下,所以给定方程在的实数根的个数为1，且该根属于区间.三、根据导函数的性质，巧设极值点【例3】（2015全国卷文）设函数.（1）讨论的导函数零点的个数；（2）证明：当时，.【解析】（1）.当时，因为，所以没有零点；当时，令，因为，所以在上单调递增. 当时，又,所以，结合，可得即在上存在唯一零点. （2）证明：由（1）可知，当时，在上存在唯一零点.设该零点为，则有.此时由和的图象可知，当时，则，单调递减；时，则，单调递增.所以在处取得最小值.由得和，代入，所以当时，.【评注】当我们研究函数的极值大小时，经常遇到一些较难确定大小的代数式（如），而又是一个无法算得的数值，这时我们利用极值点处的导数为零这一条件（如），消去某些式子，得到较为简单的代数式（如），使研究更为简便.【例4】设函数有两个极值点，且（1）求实数的取值范围；（2）求的取值范围【解析】（1）求导得.令函数，则由函数有两个极值点，可知，必为方程在上的两个不等根，又注意到函数图像的对称轴为，所以只需，解得故实数的取值范围是.(2)为的根，则有.由（1）可知，而对称轴，故有.设，则.所以在上单调递增，则故的取值范围是.【评注】为函数极值点，若直接求解，再代入，显然运算量较大.不妨由，求得，将中的消去即可迅速求解.【变式4】（2013新课标全国卷节选）已知函数，证明【答案】易知函数在单调递增由知在有唯一实根当时，故单调递减；当时，故单调递增故取得最小值由得即,则即. 所以，则有得证【变式5】（2013惠州二模第21题节选)已知函数是奇函数，且图像在点处的切线斜率为3 (e为自然对数的底数)(1)求实数的值；(2)若，且对任意恒成立，求k的最大值【答案】（1）由题意易得 （2）当时，由恒成立，得当时，设，则.设，则，在上是增函数.因为，所以，使. 时，即在上为减函数；同理在上为增函数故.由得于是，所以，又，故的最大值为【变式6】（ 2012新课标全国卷文节选）设函数 (1) 求的单调区间；(2)若为整数，且当时，求的最大