高中数学：弦切角的性质学案新人教A选修41

高二数学选修4-1学案弦切角的性质班级 姓名 学号学习目标:1.理解弦切角的概念；2.掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题；3.理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法.教学重点和难点弦切角定理及其应用是重点； 弦切角定理的证明是难点.教学过程：一、创设情境，以旧探新1.提问：什么样的角是圆周角?2.圆周角CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得BAE.(图7-132) 思考：这时BAE还是圆周角吗?为什么?归纳总结出弦切角的特点： (1)顶点在圆周上； (2)一边与圆相交； (3)一边与圆相切.3.弦切角定义： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. 4.判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由： (图7-133)由此发现，弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部； (2)圆心在角的一边上； (3)圆心在角的内部. 二、观察联想、发现规律1.当弦切角一边通过圆心时，(如图7-135) (1)弦切角CAB是多少度?为什么? (2)CAB所夹弧所对的圆周角D是多少度?为什么? (3)此时，弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系?观察图形，不难发现，此时弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角. 2.以A为端点.旋转AC边，使弦切角增大或减小，观察它与所夹弧所对圆周角之间的关系，猜想：弦切角是否等于它所夹的弧对的圆周角.(图7-134) 三、类比联想，尝试论证 1.回忆联想： (1)圆周角定理的证明采用了什么方法? (2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢? 2.前面证明了特殊情况，下面考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况. 讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况。如图7-136(1)，圆心O在CAB外，作O的直径AQ，连结PQ，则BACBAQ-1APQ-2APC.如图7-136(2)，圆心O在CAB内，作O的直径AQ，连结PQ，则BACQAB+1QPA+2APC. 你能写出完整的证明过程吗？ 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.3.看书并思考：课本上关于定理的证明与我们现在的证明方法有何异同? 四、巩固知识、初步应用 例1（课本） 如图7-139，已知AB是O的直径，AC是弦，直线CE和O切于点C，ADCE，垂足为D. 求证：AC平分BAD.思路一：要证BACCAD，可证这两角所在的直角三角形相似，于是连结BC，得RtACB，只需证ACDB.(图7-139) 证明：(学生自己完成证明) 思路二:连结OC，由切线性质，可得OCAD，于是有13，又由于12，可证得结论.(图7-140) 思路三:过C作CFAB，交O于F，连结AF.由垂径定理可知13，又根据弦切角定理有21，于是23，进而可证明结论成立.(图7-141)课堂练习: 1.如图7-142，AB为O的直径，直线EF切O于C，若BAC56，则ECA 度. (口答) 2.AB切O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为31，则夹劣弧的弦切角BAC . 3.已知：经过O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C. 求证：ATCTBC. 五、归纳小结在证明弦切角定理时，我们是从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理.通过弦切角概念的引入和定理的证明过程，逐步学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.学习了分类讨论的思想和完全归纳的证明方法.在这里一定要注意为什么要对弦切角进行分类和如何进行分类. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.六反馈练习练习1 直线AB和圆相切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的弦切角以及它们所夹的弧.(图7-137) 练习2 如图7-138，DE切O于A，AB，AC是O的弦，若ABAC，那么DAB和EAC是否相等