高三数学第一轮复习：不等式的概念与性质、不等式证明理人教

用心 爱心 专心 高三数学第一轮复习：不等式的概念与性质、不等式证明（理）高三数学第一轮复习：不等式的概念与性质、不等式证明（理）人人 教版教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 不等式的概念与性质、不等式证明 二. 教学重难点： 1. 理解不等式的性质，掌握不等式性质的应用。 2. 掌握比较法，分析法，综合法证明简单的不等式。 3. 了解反证法，放缩法等证明不等式的方法。 【典型例题典型例题】 例 1 若，则（ ） 2 2ln a 3 3ln b 5 5ln c A. B. C. D. cbaabcbaccab 解：方法解：方法 1： 2 1 2ln2ln 2 1 2 2ln a 3 1 3ln 3 3ln b ， 5 1 5ln 5 5ln c 1530 2 1 2)2( 1030 3 1 3)3( 630 5 1 5)5( 又 0156 325 3 1 2 1 5 1 325 3 1 2 1 5 1 3ln2ln5ln bac 方法方法 2： 0)9ln8(ln 6 1 6 3ln22ln3 3 3ln 2 2ln baba 同理： ac bac 方法 3：设，令 )0( ln x x x y0)ln1 ( 1 2 x x yex x （）e, 0e（）, e y +0 y 极大值 又 通过模拟函数的图象可得532 e x x y ln 3 3ln 2 2ln 5 5ln 选 C 例 2 设，试比较与的大小。 0x1, 0aa)1 (logx a )1 (logx a 解：方法一：解：方法一：依题意可知10 x a x a x xx aa lg )1lg( lg )1lg( )1 (log)1 (log 0 lg )1lg( lg )1lg()1lg( 2 a x a xx )1 (log)1 (logxx aa 用心 爱心 专心 方法二：方法二：由已知10 x 又 )1lg( )1lg( )1 (log )1 (log x x x x a a )1 (log )1( x x 1 1 1 log)1 (log )1()1( x x xx 11 , 11xx 2 )1()1( 1 1 log 1 1 log x x x xx 1)1 (log )1( x x )1 (log)1 (logxx aa 例 3 已知函数，满足，求的最值。caxxf 2 )(1) 1 (4f5)2(1f)3(f 解：解：由题意，知541, 14caca 设)4()(9)3(caycaxcaf 则，解得 1 94 yx yx 3 8 3 5 y x 又 3 40 )4( 3 8 3 8 , 3 20 )( 3 5 3 5 caca 故20)4( 3 8 )( 3 5 1caca 即 的最大值为 20，最小值为20)3(1f)3(f1 例 4 设函数为 R 上的增函数，令)(xf)2()()(xfxfxF （1）证明在 R 上为增函数；)(xF （2）若，证明。0)()( 21 xFxF2 21 xx 证明：证明：（1）取，则 12 xx 21 22xx 为 R 上的增函数 )(xf)2()2(),()( 2112 xfxfxfxf 于是)2()()2()()()( 112212 xfxfxfxfxFxF 0)2()2()()( 2112 xfxfxfxf ，即为 R 上的增函数)()( 12 xFxF)(xF （2） )()2()()( 2221 xfxfxFxF 但)()2()2(2)2()2( 2222 xfxfxfxfxF )()2()2( 222 xfxFxf 代入：)()()2()( 2221 xfxfxFxF 即)2()( 21 xFxF 已证为 R 上的增函数 ，即)(xF 21 2xx2 21 xx 例 5 已知，求证：0,ba1ba （1）4 11 ba 用心 爱心 专心 （2）9) 1 1 )(1 1 ( 22 ba （3）221212ba 证明：证明：（1）42 11 b a a b b ba a ba ba 当且仅当 即时，等号成立 a b b a ba （2） 2 22 2 22 22 )()( ) 1 1 )(1 1 ( b bba a aba ba 9)(25 b a a b （3）22 2 )12()12( 21212 22 ba ba 当且仅当 即时，等号成立1212baba 例 6 是否存在常数，使得对任意正数恒c yx x 2 yx x c yx y 22yx y 2 yx, 成立？试证明你的结论。 解：解：令得 1 yx 3 2 3 2 c 3 2 c 下面证明： （1）先证明 3 2 22 yx y yx x 要证0, 0yx 3 2 22 yx y yx x 只需证)2)(2(2)2(3)2(3yxyxyxyyxx 即显然成立xyyx2 22 3 2 22 yx y yx x （2）再证 3 2 22 yx y yx x 只需证)2)(2(2)2(3)2(3yxyxyxyyxx 即显然成立 22 2yxxy yx x 23 2 2 yx y 综上所述，存在常数对任何正数成立 3 2 c yx x c yx y yx x 222yx y 2 例 7 已知函数满足下列条件：对任意的实数，都有)(Rxxf 21,x x 2 21 )(xx 和，其中是大于 0 的常数，设实数)()()( 2121 xfxfxx 2121 )()(xxxfxf 满足和，baa、 0 0)( 0 af)(afab （1）证明，并且不存在，使得；1 00 ab 0)( 0 bf 用心 爱心 专心 （2）证明； 2 0 22 0 )(1 ()(aaab （3）证明。 222 )()1 ()(afbf 证明：证明：（1）证法一：证法一：任取，且，Rxx 21,21 xx 则由 )()()()( 2121 2 21 xfxfxxxx 和 2121 )()(xxxfxf 可知 2 2121212121 2 21 )()()()()()(xxxfxfxxxfxfxxxx 从而1 假设有，使得， 00 ab 0)( 0 bf 则由式知，矛盾0)()()()(0 0000 2 00 bfafbaba 不存在，使得 00 ab 0)( 0 bf 证法二：证法二：不妨设 21 xx ，)()()()( 2121 2 21 xfxfxxxx0 是 R 上的增函数 0)()( 21 xfxf)(xf0)( 0 af 不存在，使得 00 ab 0)( 0 bf 由得 2121 )()(xxxfxf 2 212121 2 21 )()()()()(xxxfxfxxxx 即1 （2）由 )(afab 可知 2 0 2 0 )()(afaaab 22 0 2 0 )()()(2)(afafaaaa 由和式，得0)( 0 af 2 0000 )()()()()()(aaafafaaafaa 由和式，知0)( 0 af 2 0 2 0 2 )()()()(aaafafaf 将式代入式，得 2 0 22 0 2 0 22 0 2 0 )(1 ()()(2)()(aaaaaaaaab （3）由式，可知 22 )()()()(afafbfbf 22 )()()()(2)()(afafbfafafbf （用式） 22 )()()(2)(afafbf ab ab 222 )()()(2)(afafbf ab af （用式） 2222 )()( 2 )(afabaf 2222222 )()1 ()()(2)(afafafaf 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 若，则下列不等式中总成立的是（ ）0 ba A. B. 1 1 a b a b b b a a 11 用心 爱心 专心 C. D. a b b a 11 b a ba ba 2 2 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ）1, 0ba A. B. 2 b a b a aa b a b a 2 C. D. a b a b a 22 b a a b a 3. 已知函数， 3 )(xxxf ，那么的Rxxx 321 ,0 21 xx0 32 xx0 13 xx)()()( 321 xfxfxf 值（ ） A. 一定大于 0 B. 一定小于 0 C. 等于 0 D. 正负都有可能 4. 已知，且，设，0 ba1ab ba c 2 ，则（ ）bNaP cc log,logabM c log A. B. C. D. NMPNPMMPNPMN 5. 设正数满足，且，则（ ）dcba,cbdacbda A. B. C. D. bcad bcad bcad cbad 6. 已知，则的最小值为（ ）1 22 ba2 22 cb2 22 accabcab A. B. C. D. 2 1 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 7. 设，则三个数（ ） Rcba, a c c b b a 1 , 1 , 1 A. 都不大于 2 B. 都不小于 2 C. 至少有一个不大于 2 D. 至少有一个不小于 2 8. 已知，有不等式，启发我们可以推广 Rx3 4 22 4 , 2 1 22 x xx x x x x 为，则的值为（ ）)( 1 * Nnn x a x n a A. B. C. D. n n n 2 2 n 1 2 n 二. 解答题： 1. 已知，且，求的范围。31ba42baba32 2. 设，试比较与的大小。0a1 2 aa 1 1 2 aa 3. 设二次函数（，且） 。cbxaxxf 2 )(0a0b （1）已知，试求的解析式及的最小值；1) 1() 1 ()0(fff)(xf)(xf （2）已知，当时，求证：1) 1(, 1)0(,ffab1) 1 (f1x 。 4 5 )(xf 【试题答案试题答案】 一. 1. C 用心 爱心 专心 解析：解析：由，选，或取特值，令，a0b a b b a ba 1111 01, 2ba 排除 A、D。再令排除 B。 3 1 , 2 1 ba 2. C 解析：解析：由题意，不妨设，逐一验证只有 C：成立，故选2, 1baa b a b a 2 C。 3. B 解析：解析：由题意易知为 R 上的单调奇函数)(xf 又 0 21 xx 21 xx)()()( 221 xfxfxf 故 0)()( 21 xfxf 同理， 0)()( 32 xfxf 0)()( 31 xfxf 将相加，得0)()()( 2 321 xfxfxf 4. A 解析：解析： ，22abba1 2 0 ba c0logabM c 又 ，故，而，故，1ab1 1 0 a b1a0logaP c 0logbN c 5. C 解析：解析：由题意 22 )()(cbda 22 )()(cbda 故由可知，即bcad44bcad 6. B 解析：解析：由所给的 3 个方程可解出， 2 2 ba 2 6 c 故当或，时，取得最小值 2 6 , 2 2 cba 2 2 ba 2 6 ccabcab 为3 2 1 7. D 解析：解析： ，故三者至少) 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 ( c c b b a a a c c b b a8 有一个不小于 2。 8. A 解析：解析：由，有不等式， Rx3 4 22 4 , 2 1 22 x xx x x x x ，4) 3 ( 333 27 3 3 x xxx x x 可以推广为，故的值为。1)(n x n n x n x n x x n x n n x n n n 个 a n n 用心 爱心 专心 二. 1. 解析：解析：设)()(32baybaxba ，解得 3 2 yx yx 2 1 2 5 y x 1)( 2 1 2, 2 15 )( 2 5 2 5 baba 即 2 13 )( 2 1 )( 2 5 2 9 baba 故的取值范围是ba32 ) 2 13 , 2 9 ( 2. 解析：解析：设 1 1 , 1 2 2 aa BaaA ，0 4 3 ) 2 1 ( 2 aA0 4 3 ) 2 1 ( 1 2 a B 且) 1)(1( 22 aaaa B A 1) 1( 24222 aaaa 这里， ，即0a1 B A BA 故 1 1 1 2 2 aa aa 3. 解析：解析：（1）由题设，1)0( fc1) 1 (cbaf1) 1(cbaf 则cbacba 得或，即或，而不合cbacbacbacba0bca0b 题意 ca1, 0ca1, 1ca 代入，得 或1cba1b1)( 2 xxxf1)( 2 xxxf 或 4 5 4 5 ) 2 1 ()( 2 xxf 4 5 4 5 ) 2 1 ()( 2 x