江苏无锡第一中学高一数学下学期期中

江苏省无锡市第一中学2018-2019学年第二学期期中考试高一数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.经过点（2，3），且与直线垂直的直线方程为 【答案】【解析】令所求直线斜率为,两直线垂直,斜率乘积为,则 ,所以,又经过点,由直线方程的点斜式可得,可化为一般式.故本题应填.点睛:两条直线垂直的条件是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的,在此条件下 ;一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率等于,则两直线也垂直;两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的前提下得出的,在此前提下有 ;若两条直线的斜率都不存在,且两直线不重合,则两直线也平行.考点:直线的方程,两直线间的关系2.在ABC中，已知AB3，A120，且ABC面积为，则BC_.【答案】7【解析】试题分析：由即得，再由余弦定理可得，所以.考点：三角形面积公式和余弦定理.3.直线（m+1）x-（1-2m）y+4m=0经过一定点，则该定点的坐标是_【答案】（-，-）【解析】【分析】根据题意，将直线的方程变形可得m（x+2y+4）+（x-y）=0，进而解可得x、y的值，即可得答案详解】解：根据题意，直线（m+1）x-（1-2m）y+4m=0，即m（x+2y+4）+（x-y）=0，又由，解可得，则该直线恒过点（-，-）；故答案为：（-，-）【点睛】本题考查直线的定点问题，注意将直线分离参数变形，属于基础题4.设ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b+c=2a，3a=5b，则C=_【答案】【解析】【分析】先由题得到b=a，c=a，再利用余弦定理，即可求得C【详解】解：b+c=2a，3a=5b，b=a，c=a，cosC=C（0，），C=，故答案：【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题5.若直线经过点，且在轴，轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 【答案】【解析】【分析】当在坐标轴上截距0时利用斜截式求解，当坐标轴上截距不为0时利用待定系数法求解.【详解】当在坐标轴上截距为0时，所求直线斜率为，直线方程为,即；当在坐标轴上截距不为0时，在坐标轴上截距互为相反数，将代入得，此时所求的直线方程为，故答案为或.【点睛】本题主要考查直线截距式方程，当在坐标轴上截距为0时容易忽略，意在对基础知识掌握的熟练程度以及分类讨论思想的应用，属于中档题.6.在ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则sinC=_【答案】【解析】【分析】由sinA：sinB：sinC=2：3：4及由正弦定理，得a：b：c=2：3：4，不妨设a=2，b=3，c=4，由余弦定理和同角的三角函数关系即可求出【详解】解：sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理，得a：b：c=2：3：4，不妨设a=2，b=3，c=4，cosC=，则sinC=，故答案为：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，属基础题，准确记忆定理的内容是解题关键7.直线ax+2y+a+1=0与直线2x+ay+3=0平行，则a=_【答案】-2【解析】【分析】由aa-22=0，解得a经过验证即可得出【详解】解：由aa-22=a2-4=0，解得a=2 经过验证a=2时，两条直线重合，舍去 故答案为：-2【点睛】本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8.若圆锥的表面积为3，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_【答案】2【解析】【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3，构造方程，可求出直径【详解】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l， 则由l=2r得l=2r， 而S=r2+r2r=3r2=3 故r2=1 解得r=1，所以直径为2 故答案为：2【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长正确对这两个关系的记忆是解题的关键9.直线l过点P（1，5），且与以A（2，1），为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_【答案】（-，-45-，+）【解析】【分析】结合函数的图象，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围即可【详解】解：如图所示：当直线l过B时设直线l的斜率为k1，则k1=，当直线l过A时设直线l的斜率为k2，则k2=4，要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（-，-45-，+），故答案为（-，-45-，+）【点睛】本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，是一道基础题10.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即樟卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90榫卯起来现有一鲁班锁的正四校柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30，则正四棱柱的高为_【答案】5【解析】【分析】由球表面积的最小值求出球形容器的半径的最小值，从而得到正四棱柱的体对角线长，由此能求出正四棱柱的高【详解】解：球形容器表面积的最小值为30，球形容器的半径的最小值为r=，正四棱柱体的对角线长为，设正四棱柱体的高为h，12+22+h2=30，解得h=5故答案为：5【点睛】本题考查球、正四棱柱的高等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题11.ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，则此三角形的面积为_【答案】【解析】【分析】根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为n-1，n，n+1，三个角分别为，-3，2，由n-1，n+1，sin，以及sin2，利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函数公式化简后，表示出cos，然后利用余弦定理得到（n-1）2=（n+1）2+n2-2（n-1）ncos，将表示出的cos代入，整理后得到关于n的方程，求出方程的解得到n的值，从而得到三边长的值，最后求三角形的面积【详解】解：设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为，-3，2，由正弦定理可得：，cos=，再由余弦定理可得：（n-1）2=（n+1）2+n2-2（n+1）ncos=（n+1）2+n2-2（n+1）n，化简可得：n2-5n=0，解得：n=5或n=0（舍去），n=5，故三角形的三边长分别为：4，5，6.所以cos=，所以S=.故答案为：【点睛】此题考查了正弦、余弦定理以及二倍角的正弦函数公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题12.中，是的中点，若，则= 【答案】【解析】设RtABC中，角A，B，C的对边为a，b，c.在ABM中，由正弦定理，sinAMBsinBAM.又sinAMBsinAMC，整理得(3a22c2)20.则，故sinBAC.13.如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，圆O所在平面，且PA=AB=2，过点A作平面，交PB,PC分别于E,F，当三棱锥P-AEF体积最大时，=_【答案】【解析】平面，则，又平面，平面，设，在中，在中， ，时，三棱锥P-AEF体积最大为，此时， ，.【点睛】涉及与圆有关的垂直问题不要忘记垂径定理和直径所对的圆周角是直角，可以提供垂直方面的依据，借助线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直反得线线垂直，这是垂直问题常用的推理模式，借助二次函数求体积的最值，进而求出所求的角的正切.14.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以线段AB为腰作等腰直角ABC（C、O两点在直线AB的两侧），当AOB变化时，OCm恒成立，则m的最小值为_【答案】2+1【解析】【分析】根据题意，以O为坐标原点，OA为x轴建立坐标系，设AOB=，分析A、B的坐标，可得向量的坐标，又由ABC为等腰直角三角形，则ACAB且|AC|=|AB|，分析可得向量的坐标，进而由向量坐标的加法可得向量的坐标，进而可得向量的模，分析其最大值，若OCm恒成立，分析可得答案【详解】解：根据题意，以O为坐标原点，OA为x轴建立坐标系，如图：则A（2，0），设AOB=，（0），则B的坐标为（cos，sin），则=（cos-2，sin），ABC为等腰直角三角形，则ACAB且|AC|=|AB|，又由C、O两点在直线AB的两侧，则=（sin，2-cos），则=（2+sin，2-cos），则|2=（2+sin）2+（2-cos）2=9+4（sin-cos）=9+4sin（-），所以当=时，|2取得最大值9+4，则OC的最大值为2+1，若OCm恒成立，则m2+1，即m的最小值为2+1；故答案为：2+1【点睛】本题考查向量数量积的计算，考查向量的坐标运算，考查三角函数的恒等变形和三角函数的图像和性质，属于综合题二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在ABC中，角A、B、C对应边分别为a、b、c（1）若a=14，b=40，cosB=，求cosC；（2）若a=3，b=，B=2A，求c的长度【答案】（1）-（2）c=3或c=5【解析】【分析】（1）先求出sinB=，再利用正弦定理求出cosA和cosC得解;(2)先利用正弦定理求出cosA=，再利用余弦定理求出c的值得解.【详解】解：（1）a=14，b=40，cosB=，sinB=，由正弦定理可得=，则sinA=，ab，cosA=，cosC=cos-（A+B）=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-+=-（2）由正弦定理可得=，则=，则cosA=，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，即9=24+c2-22c，整理可得c2-8c+15=0，解得c=3或c=5【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA平面ABCDM是AD的中点，N是PC的中点（1）求证：MN平面PAB；（2）若平面PMC平面PAD，求证：CMAD；（3）若平面ABCD是矩形，PA=AB，求证：平面PMC平面PBC【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）取PB的中点E，连接EN，AE，证明MNAE，即证MN平面PAB；（2）假设CM与AD不垂直，在平面ABCD内过M作AD的垂线，交BC于Q，连接PQ，MQ，证明平面PMQ平面PAD，显然这与平面PMC平面PAD矛盾故原题得证；（3）先证明MN平面PBC，即证平面PMC平面PBC【详解】证明：（1）取PB的中点E，连接EN，AEE，N分别是PB，PC的中点，ENBC，ENBC，M是AD的中点，四边形ABCD是平行四边形，AMBC ,AMBC，ENAM，ENAM，四边形AMNE是平行四边形，MNAE，又MN平面PAB，AE平面PAB，MN平面PAB（2）假设CM与AD不垂直，在平面ABCD内过M作AD的垂线，交BC于Q，连接PQ，MQ，PA平面ABCD，MQ平面ABCD，PAMQ，又ADMQ，PAAD=A，MQ平面PAD，又MQ平面PMQ，平面PMQ平面PAD，显然这与平面PMC平面PAD矛盾故假设不成立，CMAD（3）四边形ABCD是矩形，ADAB，PA平面ABCD，AD平面ABCD，PAAD，又PAAB=A，AD平面PAB，ADAE，由（1）可知四边形AMNE是平行四边形，四边形AMNE是矩形，MNEN，又AM=MD，PA=AB=CD，PAM=MDC=90，PMACMD，PM=CM，又N是PC的中点，MNPC，又PCEN=N，PC平面PBC，EN平面PBC，MN平面PBC，又MN平面PMC，平面PMC平面PBC【点睛】本题主要考查空间几何元素平行垂直位置关系的证明，考查反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.在ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量=（a，sinC-sinB），=（b+c，sinA+sinB），且,（1）求角C的大小（2）若c=3，求ABC的周长的取值范围【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将正弦化为边，进而利用余弦定理，即可得解；（2）由正弦定理得，从而得ABC 的周长为：a+ bc，结合的范围即可得解.【详解】（1）由，得：a（sinA + sinB）（b + c）（sinCsinB）由正弦定理，得：a（a+ b）（b + c）（cb）化为：a2b2c2ab，由余弦定理，得：cosC，所以，C（2）因为C，所以，BA，由B0，得：0A，由正弦定理，得：，ABC 的周长为：a+ bc，由0A，得：，所以，周长C.【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用及三角函数的值域问题，属于中档题.18.已知如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D、D1分别为AC、A1C1上的点（1）当等于何值时，BC1平面AB1D1？（2）若平面BC1D平面AB1D1，求的值【答案】（1）1； （2）1.【解析】【分析】（1）取为线段的中点，此时1，连接交于点，连接，在中，点分别为的中点，得,进而证得面. (2)由已知，平面平面，进而得到和，进而可求解.【详解】（1）如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，OD1BC1.又OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，BC1平面AB1D1.时，BC1平面AB1D1. (2)由已知，平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BDC1BC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，因此BC1D1O，同理AD1DC1.又，即.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.19.某地拟在一个U形水面PABQ（A=B=90）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分隔线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物已知AB=a，EM=BM，MEN=90，设所拉分隔线总长度为l（1）设AME=2，求用表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）求l的最小值【答案】（1）l=，（0，）；（2）lmin=2a【解析】【分析】（1）设MN=x，根据AM+BM=a，求出x=,再求得l=，（0，）；（2）令f（）=sin（1-sin），sin（0，），利用二次函数的图像和性质求l的最小值【详解】解：（1）EM=BM，B=MEN，BMNEMN，BNM=MNE，AME=2，BNM=MNE=，设MN=x，在BMN中，BM=x