湖南衡阳第八中学高三数学第三次月考文

湖南省衡阳市第八中学2019届高三数学第三次月考试题 文（含解析）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知集合M=x|(x-1)(x-4)0，N=0,1,2,3，则集合MN中元素的个数为A 1 B 2 C 3 D 42已知复数z=ii-1（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3已知双曲线C:x2a2-y216=1(a0)的一个焦点为(5,0)，则双曲线C的渐近线方程为A 4x3y=0 B 16x9y=0 C 4x41y=0 D 3x4y=04设A、2 B、1 C、-2 D、-15九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为A 54钱 B 43钱 C 32钱 D 53钱6在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，ACBC，PA=AC=BC,则AB与面PAC所成角为A 30 B 45 C 60 D 907已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定目标函数的最大值为A B C D 8已知直线y=kx+3和圆x2+y2-6x-4y+5=0相交于M,N两点，若MN=23,则k的值为A 2或12 B -2或-12 C -2或12 D 2或-129如图，正方形中， 为DC的中点，若，则的值为A B C D 10设等差数列an的前n项和为Sn，已知S130,S140，若akak+10,0的图象与两条直线l1:y=mAm0,l2:y=-m的两个交点,记Sm=xM-xN,则Sm的图象大致是12如图，已知双曲线（，）的左右焦点分别为、，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该双曲线的离心率为A B C D二、填空题13已知a=(1,-2),b=(2,m)，若ab，则b=_14在锐角ABC中，角A,B所对的边长分别为a,b，若2asinB=3b，则A=_15已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），E为面底ABCD的中心，A1E与球相交于EF，则EF的长为_.16定义在(0,+)上的函数fx满足：对x(0,+)，都有f2x=2fx，当x(1,2时，fx=2-x，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： _.对mZ，有f(2m)=0；函数fx的值域为0,+)；存在nZ，使得f(2n+1)=9；三、解答题17已知数列an是公差不为0的等差数列，首项a1=1，且a1,a2,a4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足bn=an+2an，求数列bn的前n项和Tn18已知函数fx=23sinxsin2-x+2cos2x+a的最大值为3（1）求fx的单调增区间和a的值；（2）把函数y=fx的图象向右平移4个单位得到函数y=gx的图象，求gx在0,2上的值域19如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且折叠后的AC=6.（1）证明：AM面BCDE（2）求三棱锥E-ABC的体积20设椭圆C:x2a2+y2b2=1a0,b0，离心率e=22，短轴2b=210，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为0,1，（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为O,A为抛物线上第一象限内的点，B为椭圆是一点，且有OAOB，当线段AB的中点在轴上时，求直线AB的方程21已知函数（其中）（1）若为的极值点,求的值；（2）在（1）的条件下,解不等式22已知函数fx=2x-1+x+1.（1）解不等式fx3；（2）记函数gx=fx+x+1的值域为M，若tM，证明： t2+13t+3t12019届湖南省衡阳市第八中学高三第三次月考数学（文）试题数学 答 案参考答案1C【解析】【分析】先解不等式得集合M，再根据交集定义求MN，最后确定元素个数.【详解】因为M=x|(x-1)(x-4)0=1,4,所以MN=1,2,3，有3个元素，选C.【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2D【解析】【分析】先化简复数z为代数形式，再确定对应的点所在象限.【详解】因为z=ii-1=i(-i-1)2=12-12i,对应的点为（12，-12），位于第四象限，选D.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.dR). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a+bi(a,bR)的实部为a、虚部为b、模为a2+b2、对应点为(a,b)、共轭为a-bi.3A【解析】【分析】先根据焦点坐标求a，再根据双曲线方程求渐近线方程.【详解】因为焦点为(5,0)，所以a2+16=52，即a2=9，所以渐近线方程为x29-y216=0，即4x3y=0，选A.【点睛】1.已知双曲线方程x2a2-y2b2=1求渐近线：x2a2-y2b2=0y=bax2.已知渐近线y=mx ，可设双曲线标准方程m2x2-y2=3，双曲线焦点到渐近线距离为b，垂足为对应准线与渐近线的交点.4B【解析】试题分析： ， .考点：分段函数值.5B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,解得a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5, a=1,则a-2d=a-2(-a6)=43a=43,故选B.6B【解析】【分析】先证明BC底面PAC，即得BAC为AB与面PAC所成角，再根据等腰直角三角形得结果.【详解】因为PA底面ABC，所以PABC，又ACBC，所以BC底面PAC，因此BAC为AB与面PAC所成角，因为AC=BC，所以三角形ACB为腰直角三角形，即BAC=45，从而AB与面PAC所成角为45，选B.【点睛】线面角的寻找，主要找射影，即需从线面垂直出发确定射影，进而确定线面角.7A【解析】试题分析：作出不等式组的可行域由图可知，C（2，2），化目标函数z=2x+y-5为y=-2x+z+5由图可知，当直线y=-2x+z+5过点C时，直线在y轴上的截距最大，z最大，等于22+2-5=1故选：A考点：线性规划8C【解析】【分析】根据垂径定理求得圆心到直线距离，再根据圆心到直线距离公式求k.【详解】因为x2+y2-6x-4y+5=0，所以(x-3)2+(y-2)2=8，因此圆心到直线距离为8-(|MN|2)2=8-3=5,从而|3k-2+3|k2+1=5k=12或k=-2，选C.【点睛】涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和.9A【解析】试题分析： ，又,所以,又,那么.故本题选A考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理.10B【解析】国为an为等差数列，S13=13a7，S14=7(a7+a8)，所以a70,a80,a7+a80,0的图象与性质12C【解析】试题分析：如下图所示，设与的内切圆相切于，则，所以，所以，所以，所以，即，由可得，所以该双曲线的离心率，故应选考点：1、双曲线的简单几何性质【思路点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质、三角形内切圆的性质和切线长定理，考查了学生的作图能力及识图能力，属中档题 其一般解题思路为：首先作出草图，便于分析问题，然后运用切线长定理可得出，进而得出的值，由双曲线的定义可得出的值，再由可求出的值，进而可求出双曲线的离心率135【解析】【分析】先根据向量垂直得m，再根据向量模的定义求结果.【详解】因为ab，所以12-2m=0,m=1,因此b=4+m2=5.【点睛】(1)向量平行：a/bx1y2=x2y1，a/b,b0R,a=b,BA=ACOA=11+OB+1+OC(2)向量垂直：abab=0x1x2+y1y2=0，(3)向量加减乘： ab=(x1x2,y1y2),a2=|a|2,ab=|a|b|cos1460【解析】【分析】先根据正弦定理化边为角，再根据正弦值求角.【详解】因为2asinB=3b，所以2sinAsinB=3sinB,sinA=32,因为A为锐角，所以A=60.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.1563【解析】【分析】先作平面图形，再根据等腰三角形性质求解.【详解】如图，OF=OE,所以EF=2OEcosOEF=212cosAA1E=11+(22)2=63.【点睛】求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解16【解析】【分析】根据定义求f(2m)值、求fx的值域、解方程f2n+1=9，再根据结果进行选择.【详解】因为f2m=2f2m-1=2m-1f2=0,所以对;因为当x(1,2时，fx=2-x0,1)，当x(12,1时，fx=12(2-2x)0,12)，当x(12k,12k-1时，fx=12k(2-2kx)0,12k)，当x(2k-1,2k时，fx=2k-1(2-12k-1x)0,2k-1)，因此当k+时， 2k-1+,12k0，从而函数fx的值域为0,+)；所以对;因为9(23,24)，所以由上可得f2n+1=2k-12-2n+12k-1=9,k-14,即2k-2n=10，2k-1-2n-1=52n-1=1,2k-1=6无解.所以错；综上正确结论的序号是【点睛】合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用17（1）an=n；（2）nn+12+2n+1-2【解析】【分析】（1）根据条件“a1,a2,a4成等比数列”列关于公差的方程，解得结果，（2）根据分组求和法，将原数列的和分为等差与等比数列的和.【详解】(1)设数列an的公差为d，由已知得，aa1a4，即(1d)213d，解得d0或d1.又d0，d1，可得ann.(2)由(1)得bnn2n， Tn(121)(222)(323)(n2n)(123n)(222232n)nn+122n12.【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如an=n,n为奇数2n,n为偶数 ），符号型（如an=(-1)nn2 ），周期型（如an=sinn3 ）18（1）单调递增区间为-3+k,6+k,kZ，a=0；（2）1-3,3【解析】【分析】(1)先根据诱导公式、二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求增区间以及最大值，最后根据最大值为3求a的值；(2)根据图象变换得gx解析式，再根据正弦函数性质求值域.【详解】（1）由已知fx=23sinxcosx+1+cos2x+a=3sin2x+cos2x+1+a=2sin2x+6+1+a，令-2+2k2x+62+2k,kZ得：-3+kx6+k,kZ ，函数fx的单调递增区间为-3+k,6+k,kZ,由函数fx的最大值为3，得3+a=3，a=0；（2）由（）知fx=2sin2x+6+1，gx=2sin2x-4+6+1=2sin2x-3+1，x0,2，2x-3-3,23，sin2x-3-32,1，2sin2x-3+11-3,3， 即gx在0,2上的值域为1-3,3.【点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y=Asin(x+)+B的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征19（1）见解析；（2）2【解析】【分析】(1)根据翻折前后不变关系得AMBE, 根据计算利用勾股定理得AMMC, 再根据线面垂直判定定理得结论，(2)先根据等体积法得VE-ABC=VA-BCE，再根据（1）得AM为三棱锥A-BCE的高，最后利用锥体体积公式求结果.【详解】(1)证明：正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点 为M，易知AMBE，且AM=CM=3，在多面体中，由AC=6，知AM2+CM2=AC2，故AMMC, 又AMBE,又MCBE=M,MC,BE平面BCDE，故AM平面BCDE， （2）连接AE、CE,则AM为三棱锥A-BCE的高，MC为BCE的高在正六边形ABCDEF中，BE=2AF=4，故SBCE=1243=23， 所以VE-ABC=VA-BCE=13233=2【点睛】立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.20（1） y220+x210=1 , x2=4y ;(2)72x+8y-18=0【解析】【分析】（1）根据条件列方程组解得a,b，根据抛物线焦点坐标所在位置可设抛物线方程形式，再根据焦点坐标求抛物线标准方程，（2）利用斜率设直线OA、OB方程，分别与抛物线、椭圆方程联立方程组解得A,B横坐标，再根据A,B横坐标和为0解斜率得A,B坐标，最后根据两点式求直线AB 方程.【详解】(1) 由e=22得a=2c，又有b=10，代入a2=b2+c2，解得a=25 所以椭圆方程为y220+x210=1 由抛物线的焦点为0,1得，抛物线焦点在y轴，且p2=1，抛物线的方程为：x2=4y (2)由题意点A位于第一象限，可知直线OA的斜率一定存在且大于0设直线OA方程为：y=kx，k0联立方程y=kxx2=4y得：x2=4kx，可知点A的横坐标xA=4k，即A4k,4k2因为OAOB，可设直线OB方程为：y=-1kx连立方程y=-1kxy220+x210=1得：x2=20k21+2k2，从而得x=20k21+2k2若线段AB的中点在y轴上，可知xB=-20k21+2k