湖南衡阳第八中学高三数学第四次月考文

湖南省衡阳市第八中学2020届高三数学上学期第四次月考（11月）试题 文一、单选题1已知命题,总有,则为A,使得 B,使得C,总有 D,总有2在一个棱长为的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面有三个面涂有颜色的概率是（ ）ABCD3函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（ ）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度4执行如图所示的程序框图，若输出的值为2，则判断框中可以填入的条件是（）An999Bn9999 Cn9999Dn0)的准线为l,直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,则p的值为_15.在ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知,且,则ABC的面积为_16如图，在边长为3正方体中，为的中点，点在正方体的表面上移动，且满足，当P在CC1上时，AP=_,点和满足条件的所有点构成的平面图形的面积是_. 三、解答题17已知向量，函数，且当，时，的最大值为.（1）求的值，并求的单调递减区间；（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和.18已知函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19在四棱锥中，,，为中点，为中点，为中点,（1）求证： 平面；（2）证明：平面；（3）求三棱锥的体积.20已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点(异于左右顶点)，椭圆C的左顶点为D，试判断直线AD的斜率与直线BD的斜率之积与的大小，并说明理由.21已知函数.（1）若函数存在不小于的极小值，求实数的取值范围；（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.22已知曲线：和：，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.（）求出，的普通方程.（）若曲线上的点到曲线的距离等于为，求的最大值并求出此时点的坐标；23已知函数.（I）当时，求不等式的解集；（II）若时，恒成立，求实数的取值范围.衡阳市 2020届第四次月考文科数学命题人：刘一坚 审题人：陈钊 仇武君一、单选题1已知命题,总有,则为A,使得 B,使得C,总有 D,总有【答案】A【解析】【详解】命题的否定是对命题结论的否定，全称命题的否定是特称命题，因此为,使得，故选A.2在一个棱长为的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面有三个面涂有颜色的概率是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面有三个面涂有颜色，有8种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解【详解】由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面有三个面都涂色，有8种结果，所以所求概率为故选：B3函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（ ）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方法求解.【详解】由图象可知，又，所以，又因为，所以，所以，又因为，又，所以 所以，又因为，故只需向右平移个单位长度.故选A.4执行如图所示的程序框图，若输出的值为2，则判断框中可以填入的条件是（）An999Bn9999 Cn9999Dn0)的准线为l,直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,则p的值为_【答案】【解答】解：抛物线y2=2px(p0)的准线为l：x=p2,双曲线的两条渐近线方程为,可得,则,可得故答案为15.在ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知,且,则ABC的面积为_【答案】【解答】解：在ABC中,由余弦定理得,则,由正弦定理得,16如图，在边长为3正方体中，为的中点，点在正方体的表面上移动，且满足，当P在CC1上时，AP=_,点和满足条件的所有点构成的平面图形的面积是_. 【答案】,.【详解】取，的中点分别为，连结，由于，所以四点共面，且四边形为梯形，因为，所以面，因为点在正方体表面上移动，所以点的运动轨迹为梯形，如图所示：因为正方体的边长为3，所以当点P在CC1上时，点P为CC1的中点N，又，所以梯形为等腰梯形，所以。三、解答题17已知向量，函数，且当，时，的最大值为.（1）求的值，并求的单调递减区间；（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和.【答案】（1），；（2）.【详解】（1）函数，得.即，由题意得，得所以，函数的单调减区间为.（2）由题意，又，得解得：或即或或故所有根之和为.18已知函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】解：（1） ，由及得，则数列是首项，公差的等差数列，所以 （2）由（1）得 ，则19在四棱锥中，,，为中点，为中点，为中点,（1）求证： 平面；（2）证明：平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）解析：（1）因为为的中点，为中点，则在中，平面, 平面, 则平面 20已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点(异于左右顶点)，椭圆C的左顶点为D，试判断直线AD的斜率与直线BD的斜率之积与的大小，并说明理由.【答案】(1)；(2).【详解】(1)设椭圆的标准方程为为，由题，.即,椭圆C的方程为.(2)直线AD与直线BD的斜率之积为定值，且定值为由题易知当直线AB的斜率不存在时，易求当直线AB的斜率存在时，可设直线AB的方程为，设联立可得，则故直线AD与直线BD的斜率之积为定值.21已知函数.（1）若函数存在不小于的极小值，求实数的取值范围；（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数的定义域为，.当时，函数在区间上单调递减，此时，函数无极值；当时，令，得，又当时，；当时，.所以，函数在时取得极小值，且极小值为.令，即，得.综上所述，实数的取值范围为；（2）当时，问题等价于，记，由（1）知，在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，所以，当时，由可知，所以成立；当时，设恒成立，所以在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，所以.所以，函数在区间上单调递增，从而，命题成立.当时，显然在区间上单调递增，记，则，当时，所以，函数在区间上为增函数，即当时，.，由于，显然设，由可知在区间上单调递增所以在区间内，存在唯一的，使得，故当时，即当时，不符合题意，舍去.综上所述，实数的取值范围是.22已知曲线：和：，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.（）求出，的普通方程.（）若曲线上的点到曲线的距离等于为，求的最大值并求出此时点的坐标；【答案】（），；（）【详解】（）则，又则（）方法一：（利用椭圆的参数方程）设椭圆则点到曲线的距离：当此时，所以方法二：（利用平行相切）设联立方程组由，得则直线都和椭