（江苏专用）2013年高考数学二轮复习 （热点命题探究）专题1 开放探究问题学案

专题1开放探究问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括.它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求，它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程.高考中主要考查学生对条件和结论的探索、猜想、归纳以及对存在性问题的探索、判断.1已知平面，和直线，给出条件：m；m；m；.(1)当满足条件_时，有m；(2)当满足条件_时，有m.(填所选条件的序号)解析：由线面平行关系知：m，可得m；由线面垂直关系得：m，可得m.答案：(1)(2)2在约束条件下，当3s5时，目标函数z3x2y的最大值的变化范围是_解析：画出可行域如图所示，当3s4时，目标函数z3x2y在点B(4s,2s4)处取得最大值，即zmax3(4s)2(2s4)s47,8)；当4s5时，目标函数z3x2y在点E(0,4)处取得最大值，即zmax30248，故z7,8答案：7,83观察sin2 20cos2 50sin 20 cos 50，sin2 15cos2 45sin 15cos 45，写出一个与以上两式规律相同的等式_解析：由5020(4515)30，可得sin2cos2(30)sin cos(30).答案：sin2cos2(30)sin cos(30)4集合A，Bx|xb|a，若“a1”是“AB”的充分条件，则b的取值范围是_解析：由“a1”是“AB”的充分条件，得Ax|1x1与Bx|b1x1b交集不为空集所以2b0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标本题(2)要确定炮弹可击中目标的条件，属条件探索性问题，解题过程把结论看作条件，合理转化，有利于培养学生的逆向思维能力如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC.(1)求证：OD平面PAB；(2)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？解：(1)证明：O，D分别为AC，PC的中点：ODPA，又PA平面PAB，OD平面PAB，OD平面PAB.(2)ABBC，OAOC，OAOCOB，又OP平面ABC，PAPBPC.取BC中点E，连结PE，OE，则BC平面POE，作OFPE于F，则OF平面PBC.F是O在平面PBC内的射影D是PC的中点，若F是PBC的重心，则B，F，D三点共线，直线OB在平面PBC内的射影为直线BD.OBPC，PCBD，PBBC，即k1.反之，当k1时，三棱锥OPBC为正三棱锥，O在平面PBC内的射影为PBC的重心问题2：结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”设an是公比为q的无穷等比数列，下列an的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第_组(写出所有符合要求的组号)S1与S2；a2与S3；a1与an；q与an.(其中n为大于1的整数，Sn为an的前n项和)解析由S1和S2，可知a1和a2.由q可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得a2a1q，a1，S3a1a1qa1q2.S3a2a2q，a2q2(a2S3)qa20.满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列an的基本量由a1与an，可得ana1qn1，qn1，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一组基本量由q与an，由ana1qn1，可得a1，故数列an能够确定，是数列an的一组基本量答案本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义求解时应全面考察问题的各个方面，这样不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)；(3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由解：(1)y50x982x240x98.(2)解不等式2x240x980，得10x10.xN，3x17.故从第3年工厂开始盈利(3)2x404040212，当且仅当2x时，即x7时，等号成立x7时，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12730114万元y2x240x982(x10)2102，当x10时，ymax102.故x10时，盈利额达到最大值，工厂共获利10212114万元综合上述可知：方案7年的总利润与方案10年的总利润相等，故选择方案较为合算问题3：存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论其中反证法在解题中起着重要的作用如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆1的右顶点，点D(1,0)，点P，B在椭圆上，.(1)求直线BD的方程；(2)求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；(3)是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由解因为，且A(3,0)，D(1,0)，所以BPDA2，且B，P关于y轴对称，所以点P的横坐标为1，从而得P(1,2)，B(1,2)，所以直线BD的方程为xy10.(2)由(1)可知线段BP的垂直平分线方程为x0，线段AP的垂直平分线方程为yx1，所以圆C的圆心坐标为(0，1)，且圆C的半径为r.又圆心(0，1)到直线BD的距离为d，所以直线BD被圆C截得的弦长为24.(3)假设存在这样的两个圆M与圆N，其中PB是圆M的弦，PA是圆N的弦，则点M一定在y轴上，点N一定在线段PA的垂直平分线yx1上，当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有P，M，N在一条直线上，且PMPN.设M(0，b)，则N(2,4，b)，根据N(2,4，b)在直线yx1上，解得b3.所以M(0,3)，N(2,1)，PMPN，故存在这样的两个圆，且方程分别为x2(y3)22，(x2)2(y1)22.“存在”就是有，或者给予证明或者找出一个“不存在”就是没有，找不到这类问题常用反证法加以认证“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出来；如果不存在，需说明理由这类问题常用“肯定顺推”已知函数f(x)x28x，g(x)6ln xm.(1)求f(x)在区间t，t1上的最大值h(t)；(2)是否存在实数m，使得yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由解：(1)f(x)x28x(x4)216.当t14，即t4时，f(x)在t，t1上单调递减，h(t)f(t)t28t.综上，h(t)(2)函数yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数(x)g(x)f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点(x)x28x6 ln xm，(x)2x8(x0)，当x(0,1)时，(x)0，(x)是增函数；当x(1,3)时，(x)0，(x)是增函数；当x1或x3时，(x)0.(x)极大值(1)m7，(x)极小值(3)m6ln 315.当x充分接近0时，(x)0.要使(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需即7m0时，a10(n1)的取值范围为(10，)本题以数列为依托考察学生对等差数列基本知识的理解应用在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立类比上述性质，相应地在等比数列bn中，若b91，则有等式_成立解析：首先等差数列an具有性质：所给等式两边为和式，项数之和为n(19n)19(定值)，19与a10的序号关系为：210119；类比上述性质，等比数列bn应有：等式两边为积式，项数之和为x(定值)，由于b91，x与b9的序号关系为29117x，故应填入的等式为：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)答案：b1b2bnb1b2b17n(n0，y0)的函数f(x)_.解析：满足性质f(xy)f(x)f(y)1(x0，y0)的函数可以是f(x)logax1.答案：logax12设直线l：2xy20关于原点对称的直线为l，若l与椭圆x21的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为的点P的个数为_解析：直线l：2xy20关于原点对称的直线为l：2xy20，该直线与椭圆相交于A(1,0)和B(0,2)，P为椭圆上的点，且PAB的面积为，则点P到直线l的距离应为，与l平行且与l之间距离为的直线方程为2xy30或2xy10，而2xy10与椭圆有两个交点，2xy30与椭圆没有交点，所以满足条件的点有2个答案：23设，为平面，m，n，l为直线，则m的一个充分条件是_，l，ml；m，m；n，n，m解析：中，缺少条件m；中，当，时，m；中，当，两两垂直，m时，m；中，同时垂直于同一条直线的两个平面平行，即，又m，则m为真命题答案：4已知平面区域D由以A(1,3)，B(5,2)，C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成若在区域D上有无穷多个点(x，y)可使目标函数zxmy取得最小值，则m_.解析：由A(1,3)，B(5,2)，C(3,1)的坐标位置知，ABC所在的区域在第一象限，故x0，y0.由zxmy得yx，它表示斜率为，截距为的直线(1)若m0，则要使zxmy取得最小值，必须使最小，此时需kAC，即m1；(2)若m0，bcad0，0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是_解析：，ab，bcad，中有两个大于零时，第三个也大于零故三个命题均为真命题答案：36已知点P到点A，B(a,2)及到直线x的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，则实数a的值为_解析：由题意知，点P在抛物线y22x上，故可设P，则有22(y2)2，化简，得y24ya20.因为满足题意的P点只有一个，所以，(1)若a，符合题意；(2)若a，则0，即a3a2a0，即0，所以a.综上可知，a的值为或.答案：或7若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是_(只需写出一个可能的值)解析：根据“三角形中两边之和大于第三边”，可知每个面的三条边为1,1,1，1,2,2，2,2,2三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为：，.答案：8设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)xf(x)0.则不等式f()f()的解集为_解析：记g(x)xf(x)，则有g(x)xf(x)f(x)0，故g(x)在R上是增函数不等式f()f()等价于f().f()，即g()g()由于g(x)在R上是增函数，于是有，x1x210，即解得1x2.综上所述，不等式f()f()的解集是x|1x2答案：x|1x29.给定正整数n(n2)，按右图方式构成倒立的三角形数表，第一行依次写上数1,2,3，n，在第一行的每相邻两个数的正中间的下方写上这两个数的和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n行)只有一个数，例如n6时数表如图所示，则当n2 012时最后一行的数是_解析：设最后一行(第n行)的一个数为an，则通过计算，容易得到：a23320，a38421，a420522，a548623，a6112724由此，可得an(n1)2n2，所以当n2 012时，最后一行的数a2 0122 01322 010.答案：2 01322 01010在ABC中，B(2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程ABC周长为10C1：y225ABC面积为10C2：x2y24(y0)ABC中，A90C3：1(y0)则满足条件、的轨迹方程分别为_(将代号C1，C2，C3填入)解析：由得ABAC6，轨迹为椭圆，方程为C3；由得BC|y|10，|y|5，即y225；由将A的轨迹是以BC为直径的圆方程为C2.答案：C3、C1、C211.在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2上异于坐标原点O的两不同动点A，B满足AOBO(如图所示)(1)求AOB得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程(2)AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解：(1)设AOB的重心为G(