湖南衡阳第八中学高二数学下学期过关考试理

2018年上期衡阳市八中高二年度过关考试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）1. 设集合，则=( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先求出，再求，即可得出选项.详解：因为，所以，故选C.点睛：本题考查集合并集的运算和交集的运算，对于集合要注意它的左端点可以取得，右端点不能取得.属于基础题.2. 设复数z满足(1+i)z=2i，则z=（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】复数满足=故选3. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：先求的解集，再求的解集，最后利用充要条件的判断方法得出正确选项.点睛：本题考查绝对值不等式的解法，考查幂函数的单调性，考查了充分必要条件的判断方法.属于中档题.4. 下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：，逐一判断选项中函数奇偶性、单调性，从而可得结果.详解：函数为偶函数,且在上为增函数，对于选项,函数为偶函数，在上为増函数，符合要求；对于选项,函数是偶函数，在上为减函数，不符合题意；对于选项,函数为奇函数，不符合题意；对于选项,函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项符合要求，故选A. 5. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象如图所示，则函数的解析式是（ ）A. （） B. （）C. （） D. （）【答案】A【解析】设，由的图像可知，函数的周期为，所以，将代入得，所以，向右平移后得到.6. 设函数，若，则实数a的值为（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】B【解析】分析：根据分段函数分成两个方程组求解，最后求两者并集.详解：因为，所以所以选B.点睛：求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.7. 已知，则（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：根据角的范围利用同角三角函数的基本关系求出cos（）的值，再根据sin=sin（）+，利用两角差的正弦公式计算求得结果详解：，（，），cos（）=，或（舍）sin=sin（）+=sin（）cos+cos（）sin=-=，故选：B点睛：本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，解题关键根据角的取值范围对cos（）的值进行取舍，属于中档题8. 九章算术是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中方田一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦矢矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中）A. 15 B. 16 C. 17 D. 18【答案】B【解析】分析：先根据经验公式计算出弧田的面积，再利用扇形面积减去三角形面积得实际面积，最后求两者之差.详解：因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，因此两者之差为，选B.点睛：扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式9. 在中， ，则的形状为（ ）A. 正三角形 B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】因为,，所以，有.整理得，故,的形状为直角三角形.故选B.点睛：余弦的二倍角公式有三个，要根据不同的化简需要进行选取.在判断三角形形状的方法中，一般有，利用正余弦定理边化角，角化边，寻找关系即可.10. 外接圆的半径等于1，其圆心O满足，则向量在方向上的投影等于（ ）A. B. C. D. 3【答案】C【解析】分析：先根据题意画出图形，由已知条件可知三角形为直角三角形，且，再根据直角三角形射影定理可求得所求投影的值.详解：根据题意画出图像如下图所示，因为，所以为中点，所以是圆的直径，所以.由于，所以三角形为等边三角形，所以，根据直角三角形射影定理得，即.故选C.点睛：本小题主要考查圆的几何性质，考查向量加法的几何意义，考查直角三角形射影定理等知识.属于中档题.11. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）A. -50 B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：首先根据函数为奇函数得到，再由得到函数的对称轴为，故函数是周期为的周期函数，且，根据周期性可求得结果. 详解：因为函数是奇函数，故且.因为，所以函数的对称轴为，所以函数是周期为的周期函数.因为，所以，根据函数的周期为可得所求式子的值.故选C.点睛：本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的周期性，考查函数的对称性，是一个综合性较强的中档题.12. 定义在上的函数，当时， ，则函数（）的所有零点之和等于（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D【解析】分析：首先根据得到函数关于对称，再根据对称性画出函数在区间上的图像，再根据函数与函数图像的交点来求得函数的零点的和.详解：因为故函数关于对称，令，即，画出函数与函数图像如下图所示，由于可知，两个函数图像都关于对称， 两个函数图像一共有个交点，对称的两个交点的横坐标的和为，故函数的个零点的和为.故选D.点睛：本小题主要考查函数的对称性，考查函数的零点的转化方法，考查数形结合的数学思想方法.解决函数的零点问题有两个方法，一个是利用零点的存在性定理，即二分法来解决，这种方法用在判断零点所在的区间很方便.二个是令函数等于零，变为两个函数，利用两个函数图像的交点来得到函数的零点.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）13. 设向量=（1,0），=（1,m）,若，则m=_.【答案】【解析】分析：先求得，在利用两个向量垂直，数量积为零，列方程求得的值.详解：，两个向量垂直，则它们的数量积为零，即，.点睛：本小题主要考查向量加法的运算，考查向量数量积的坐标表示，考查两个向量垂直则其数量积为零.14. 设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则的最小值为_【答案】【解析】分析：根据恒成立可知函数在处取得最大值，利用余弦函数的最大值可求得的值，并求出其最小值.详解：由于恒成立可知函数在处取得最大值，故，解得，当时，取得最小值为.点睛：本小题主要考查三角函数的图像与性质，考查三角函数的最大值，考查恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法.解题的突破口在于理解恒成立，将其转化为函数在时取得最大值来求解.求解过程中要注意.15. 的内角的对边分别为，已知，则的面积为_【答案】【解析】分析：利用正弦定理化已知条件中的边为角，然后计算出角，再结合余弦定理求得，从而可得面积详解：，又，即，故答案为点睛：解三角形问题，通常需要进行边角关系互化，在等式两边是关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式时可用正弦定理相互转化，如果题中是余弦或三边（平方）的关系可能要用余弦定理进行转化变形解题时选取恰当的公式是关键16. 设是定义在上的偶函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值是_【答案】【解析】分析：由为偶函数， 在上连续，且为减函数，可得，等价于，即有，由一次函数的单调性，解不等式即可得结果.详解：因为当时，所以可得时，递减，；当时，递减，且，在上连续，且为减函数，对任意的，不等式恒成立，等价于，可得，两边平方、移项分解因式可得，由一次函数的单调性，可得，且，即为且，即有，则的最大值为，故答案为.点睛： 函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性；（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.）17. 在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为.以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为（m为参数）.（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点，直线l和曲线C相交于，两点，求.【答案】（1）， ；（2）44【解析】分析：（1）首先将直线的极坐标方程展开后，利用极坐标和直角坐标的转化公式，可求得直线的直角坐标方程.利用代入消元法消去可求得曲线的普通方程.（2）利用直线参数的几何意义，借助根与系数关系，可求得的值.详解：（1）由得，即，的直角坐标方程，由，得，代入得，即，所以的普通方程：；（2）在上，的参数方程为（为参数），将的参数方程代入得：，即，.点睛：本小题主要考查极坐标和直角坐标相互转化，考查参数方程和普通方程互划，考查利用直线参数的几何意义解题.属于基础题.18. 已知函数.(1)若不等式f(x)f(xm)1恒成立，求实数m的最大值；(2)当时，函数g(x)f(x)|2x1|有零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）1；（2）【解析】分析：（1）先求得的表达式，利用绝对值不等式化简，由此求得的最大值.（2）写出的表达式，并写成分段函数的形式.根据有零点，可求得的取值范围.详解：(1)f(x)|xa|，f(xm)|xma|，f(x)f(xm)|xa|xma|m|，|m|1，即1m1，实数m的最大值为1.(2)当a时，g(x)f(x)|2x1|xa|2x1|g(x)minga0，或a0，实数a的取值范围是.点睛：本小题主要考查绝对值不等式的应用，考查处理含有两个绝对值符号的函数的处理方式.属于中档题.19. 已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin 2AasinB .(1)求角A的大小；(2)若a=sin A，求bc的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用正弦定理，将已知条件中的边转化为角的形式，化简后可求得的值，进而求得的值.（2）由（1）可求得的值.利用正弦定理将转化为，利用三角函数恒等变换可求出其取值范围.详解： (1)bsin2A=asin B 2bsinAcosAasin B，2sin BsinAcosAsinAsin B，cosA= A.(2)a=sin A= bcsinB+sin C=sinB+sin (+B)= 点睛：本题主要考查利用正弦定理解三角形，考查边角互化，考查了三角形内角和定理，考查三角恒等变换，考查形式三角函数求值域的方法.20. 已知向量，函数（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值【答案】（1），（2）【解析】分析：（）利用向量的数量积和二倍角公式化简得，故可求其周期与单调性；（）根据图像过得到，故可求得的大小，再根据数量积得到的乘积，最后结合余弦定理和构建关于的方程即可解：（），最小正周期：，由得，所以的单调递增区间为；（）由可得：，所以又因为成等差数列，所以而，点睛：（1）形如的性质的讨论，可以用倍角公式和辅助角公式将其变形为的形式（2）三角形共有7个几何量，往往知道其中3个（除三个角外），就可以求其余的4个量21. 已知定义在上的偶函数满足：当时， .（1）求函数的解析式；（2）设函数，若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）当时，从而，再根据函数为偶函数可得在上的解析式，进而可得在上的解析式。（2）将问题转化为处理。由于为偶函数，故只可求出当时的最小值即可，可得。又，由，得，即为所求。试题解析：（1）设，则，定义在偶函数， 。（2）由题意得“对任意，都有成立”等价于“”。又因为是定义在上的偶函数.所以在区间和区间上的值域相同.当时，.设，则 令，则当时，函数取得最小值，所以。又由，解得，因此实数的取值范围为.点睛：（1）利用偶函数的性质可求函数的解析式，对于偶函数的值域根据其对称性只需求在y轴一侧的值域即可，体现了转化的思想在解题中的应用。（2）本题中，将“对任意，都有成立”转化为“”来处理，是数学中常用的解题方法，这一点要好好体会和运用。（3）形如的函数的值域问题，可根据换元法转化为二次函数的值域问题求解。22. 定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.（1）当时，若， ，求函数在闭区间上的值域；（2）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.【答案】(1) (2) 见解析【解析】分析：（1）利用，分别求得函数在区间上的表达式，并求得其值域.（2）首先判断出值域相同.当时，利用求得的值，并利用周期性的定义证明得函数是周期为的周期函数.同理可证明当，函数也为周期函数.详解：（1）当时， ， 当时，即，由得，则， 当时，即，由得，则， 当时，即，由得， 综上得函数在闭区间上的值域为. （2）（证法一）由函数的值域为