第3讲-贝齐尔曲线

车 身 CAD车 身 CAD 吴娜吴娜 山东交通学院汽车工程系山东交通学院汽车工程系 2 ?CAGD发展； ?几何造型技术； ?参数曲线和曲面； ? ? Bezier Bezier 曲线与曲面；曲线与曲面； ?B样条曲线与曲面； ?NURBS曲线与曲面； 第第3章 车身曲线曲面的数学模型基础章 车身曲线曲面的数学模型基础 3 3. Bezier Bezier 曲线与曲面曲线与曲面 由于几何外形设计的要求越来越高由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法传统的曲线曲面表示方法, 已不能满足用户的需求。已不能满足用户的需求。 1962年，法国雷诺汽车公司的年，法国雷诺汽车公司的P. .E. .Bezier构造了一种以构造了一种以逼近逼近为 基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种 称为 为 基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种 称为UNISURFUNISURF 的曲线和曲面设计系统，的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入 了应用。 年，该系统被投入 了应用。 4 3. Bezier 3. Bezier 曲线与曲面曲线与曲面 ?Bezier方法将方法将函数逼近同几何表示函数逼近同几何表示结合 起来，使得设计师 在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。 结合 起来，使得设计师 在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。 例如，例如，windows系统中系统中画图板里面的曲线画图板里面的曲线，即为标准的，即为标准的 Bezier曲线。曲线。 0 P 1 P 2 P 3 P 图3.1.8 三次Bezier曲线 0 P 1 P 2 P 3 P Bezier曲线的描述方法：曲线的描述方法： ?通过一组通过一组多边折线的各个顶点多边折线的各个顶点唯一定义出来的唯一定义出来的 ?在这组多边折线的顶点中，只有第一点和最后一点在曲 线上 在这组多边折线的顶点中，只有第一点和最后一点在曲 线上 ?且多边形的第一条和最后一条边表示了曲线在起点和终 点的切线方向 且多边形的第一条和最后一条边表示了曲线在起点和终 点的切线方向 ?其余各顶点用来定义Bezier曲线的阶次和形状。其余各顶点用来定义Bezier曲线的阶次和形状。 ?多边折线也称为多边折线也称为控制多边形控制多边形，它的顶点叫做，它的顶点叫做控制点控制点 特点：特点： ?Bezier曲线的形状曲线的形状趋近于趋近于控制多边形的形状控制多边形的形状 ?改变控制多边形的顶点位置就会改变曲线的形状改变控制多边形的顶点位置就会改变曲线的形状 ?几种典型的三次几种典型的三次Bezier曲线如图曲线如图7-7所示。所示。 多边形为凸，曲线也为凸多边形为凸，曲线也为凸 首末边相交，出现尖点首末边相交，出现尖点首末边位于中间边两边，一个拐点首末边位于中间边两边，一个拐点 从上图中可以看出：在控制多边形的各顶点中，只有第一个和最后一 个顶点在曲线上，其它的顶点则用以定义曲线的导数、阶次和形状。由 于曲线的形状趋向于控制多边形的形状，所以改变多边形的顶点就会改 变曲线的形状，这就使观察者对输入、输出关系有直观的感觉。 从上图中可以看出：在控制多边形的各顶点中，只有第一个和最后一 个顶点在曲线上，其它的顶点则用以定义曲线的导数、阶次和形状。由 于曲线的形状趋向于控制多边形的形状，所以改变多边形的顶点就会改 变曲线的形状，这就使观察者对输入、输出关系有直观的感觉。 3. Bezier 3. Bezier 曲线曲线-定义定义 1定义1定义 给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），则 Bezier曲线可定义为： 1 , 0),()( , 0 = = ttBPtP nii n i )(),(),()(tztytxtP= 注意注意： (,) iiii Pxyz 9 3. Bezier 3. Bezier 曲线曲线-定义定义 其中，其中，P Pi i 构成该Bezier曲线的特征多边形， 构成该Bezier曲线的特征多边形， B Bi,n i,n(t) (t)是n次Bernstein基函数：是n次Bernstein基函数： 0=1, 0!=1 ), 1 , 0( )1 ( )!( ! ! )1 ()( , nitt ini n ttCtB iniinii nni = = ?当当n1时，时，Bezier曲线的控制多边形有曲线的控制多边形有二个二个控制点控制点 P0和和P1 ?可以看出，一次可以看出，一次Bezier曲线是一次多项式，一段直 线。 曲线是一次多项式，一段直 线。 101 , 1 0 Pt)(1 )()(PttBPtp i i i += = 3. 3. 一次一次BernsteinBernstein基函数及曲线基函数及曲线 当当n2时，时，Bezier曲线的控制多边形有三个控制点曲线的控制多边形有三个控制点P0、P1 和和P2，二次，二次Bezier曲线是二次多项式。曲线是二次多项式。 ?可以证明，二次可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物线。曲线是一段抛物线。 P t)1 (2Pt)(1 )()( 2 2 10 2 2, 2 0 += = PtttBPtp i i i 001 2 )012 2 2 10 2 )(2( )1(2)1()( PtPPtPPP PtPttPttP += += 3. 3. 二次二次BernsteinBernstein基函数及曲线基函数及曲线 当当n3时，时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1 、P2和和P3，Bezier曲线是曲线是三次多项式三次多项式。 可以证明，三次 。 可以证明，三次Bezier曲线是自由曲线。曲线是自由曲线。 Pt P t)-(1t 3)1 (3Pt)(1 )()( 3 3 2 2 1 2 0 3 3 , 3 0 += = PtttBPtp i i i Pt P )3tt 3()363 (1)P3t-3tt( 3 3 2 23 1 23 0 23 +=Pttt 3. 3. 三次三次BernsteinBernstein基函数及曲线基函数及曲线 13 3. 3. 三次三次BernsteinBernstein基函数及曲线基函数及曲线 三次三次Bernstein基函数基函数 (1) f(t) t (1) B1,3B1,3 B0,3 B2,3 B3,3 当当n=3时，时， B0,3(t)=(1-t)3， B1,3(t)=3t(1-t)2， B2,3(t)=3t2(1-t)， B3,3(t)=t3。 14 2Betnstein基函数的性质基函数的性质 （1）非负性）非负性 = = = ; 1, 2 , 1),1 , 0(0 1 , 00 )( , nit t tB ni 即 0Bi,n(t)1，0t1，0in B0,n(0)=1，Bi,n(0)=0，1in Bn,n(1)=1，Bi,n(0)=0，0in-1 0Bi,n(t)1，0t1，0in 3. Bezier Bezier 曲线曲线-Betnstein基函数 15 3. Bezier Bezier 曲线曲线曲线曲线-Betnstein基函数 基函数 2Betnstein基函数的性质基函数的性质 （2）端点性质）端点性质 = = = = otherwise ni B otherwise i B ni ni 0 )(1 ) 1 ( 0 )0(1 )0( , , 16 （3）规范性）规范性 由二项式定理可知：由二项式定理可知： ) 1 , 0(1)( 0 , = ttB n i ni = += n i n i ninii nni ttttCtB 00 , 1)1()1 ()( 3. Bezier Bezier 曲线曲线曲线曲线-Betnstein基函数 基函数 17 （4）对称性）对称性 因为因为 )()( , tBtB ninni = )1 ()1 ( )1 ()1 (1 )( , )( , tBttC ttCtB ni inii n ininnin nnin = = 3. Bezier Bezier 曲线曲线曲线曲线-Betnstein基函数 基函数 18 (5）递推性。）递推性。 即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的 Bernstein调和函数线性组合而成。因为， 即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的 Bernstein调和函数线性组合而成。因为， ),.,1 , 0( ),()()1 ()( 1, 11, ni ttBtBttB ninini = += )()()1 ( )1 ()1 ()1 ( )1 ()()1 ()( 1, 11, )1()1(11 1 )1( 1 1 11, ttBtBt tttCttCt ttCCttCtB nini inii n inii n inii n i n inii nni += += += 3. Bezier Bezier 曲线曲线曲线曲线-Betnstein基函数 基函数 19 3. 3. Bezier Bezier Bezier Bezier 曲线曲线曲线曲线-性质性质性质性质 3Bezier曲线的性质3Bezier曲线的性质 （1）端点性质）端点性质 a）曲线端点位置矢量）曲线端点位置矢量 由由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，基函数的端点性质可以推得，当t=0时， P(0)=PP(0)=P0 0；当t=1时，；当t=1时，P(1)=PP(1)=Pn n。由此可见，Bezier曲线的。由此可见，Bezier曲线的 起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。 20 3. Bezier 3. Bezier 3. Bezier 3. Bezier 曲线曲线曲线曲线-性质性质性质性质 b)切矢量切矢量 因为， 所以当 因为， 所以当t=0时， 当 时， 当t=1时，这说明时，这说明Bezier曲线的 起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条 边的走向一致。 曲线的 起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条 边的走向一致。 = = 1 0 1,1, 1 )()()( n i ninii tBtBPntP )1 ()()1 ()( 11 0 = = iniinii n n i i ttinttiCPtp )()0( 01 PPnp= )() 1 ( 1 = nn PPnp 3. Bezier 3. Bezier 3. Bezier 3. Bezier 曲线曲线曲线曲线-性质性质性质性质 （2）对称性对称性 由控制顶点构造出的新由控制顶点构造出的新Bezier曲线，与 原 曲线，与 原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为： 这个性质说明 曲线形状相同，走向相反。因为： 这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处 也有相同的性质。 曲线在起点处有什么几何性质，在终点处 也有相同的性质。 ),.,1 , 0( , * niPP ini = = = n i n i niinnii tBPtBPtC 00 , * )()()(* = = n i nii n i ninin ttBPtBP 0 , 0 , 1 , 0),1 ()1 ( 22 3. Bezier 3. Bezier 3. Bezier 3. Bezier 曲线曲线曲线曲线-性质性质性质性质 （3）凸包性）凸包性 由于，且，这一 结果说明当 由于，且，这一 结果说明当t在在0，1区间变化时，对某一个区间变化时，对某一个t值，值，P(t)是特征多边 形各顶点的加权平均，权因子依次是。在几何图形上，意味 着 是特征多边 形各顶点的加权平均，权因子依次是。在几何图形上，意味 着Bezier曲线曲线 P(t) 在中各点是控制点在中各点是控制点Pi i的凸线性组合， 即曲线落在 的凸线性组合， 即曲线落在Pi i构成的凸包之中，如图所示。构成的凸包之中，如图所示。 = n i ni tB 0 , 1)(), 1 , 0, 10( 1)(0 , nittB ni L= )( , tB ni 1 , 0t 贝齐尔曲线恒位于它的控制顶点的凸包内。贝齐尔曲线恒位于它的控制顶点的凸包内。贝齐尔曲线恒位于它的控制顶点的凸包内。贝齐尔曲线恒位于它的控制顶点的凸包内。 图3.1.9 Bezier曲线的凸包性 凸包 24 3. Bezier 3. Bezier 3. Bezier 3. Bezier 曲线曲线曲线曲线-性质性质性质性质 （4）几何不变性）几何不变性 这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier 曲线位置与形状与其特征多边形顶点的 位置有关，它不依赖坐标系的选择。 曲线位置与形状与其特征多边形顶点的 位置有关，它不依赖坐标系的选择。 ), 1 , 0(niP i L= 25 3. Bezier 3. Bezier 3. Bezier 3. Bezier 曲线曲线曲线曲线-性质性质性质性质 （5）变差缩减性。）变差缩减性。 若若Bezier曲线的特征多边形是一个平 面图形， 则平面内任意直线与 曲线的特征多边形是一个平 面图形， 则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多 于该直线与其特征多边形的交点个数 的交点个数不多 于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫 变差缩减性质。此性质反映了 ，这一性质叫 变差缩