湖南长沙望城区白箬中学高三数学第二轮讲座复习数学归纳法的解题应用

湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习：数学归纳法的解题应用高考要求 数学归纳法是高考考查的重点内容之一 类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法 重难点归纳 (1)数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若1P(n0)成立(奠基)2假设P(k)成立(kn0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立 (2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等 典型题例示范讲解 例1试证明 不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n1,nN*且a、b、c互不相等时，均有 an+cn2bn 命题意图 本题主要考查数学归纳法证明不等式 知识依托 等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤 错解分析 应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况 技巧与方法 本题中使用到结论 (akck)(ac)0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1akc+cka 证明 (1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q0且q1)an+cn=+bnqn=bn(+qn)2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想()n(n2且nN*)下面用数学归纳法证明 当n=2时，由2(a2+c2)(a+c)2，设n=k时成立，即则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c)()k()=()k+1也就是说，等式对n=k+1也成立 由知，an+cn2bn对一切自然数n均成立 例2在数列an中，a1=1，当n2时，an,Sn,Sn成等比数列 (1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列an所有项的和 错解分析 (2)中，Sk=应舍去，这一点往往容易被忽视 技巧与方法 求通项可证明是以为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式 解 an,Sn,Sn成等比数列，Sn2=an(Sn)(n2) (*)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=由a1=1，a2=,S3=+a3代入(*)式得 a3=同理可得 a4=,由此可推出 an=(2)当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立 假设n=k(k2)时，ak=成立故Sk2=(Sk)(2k3)(2k1)Sk2+2Sk1=0Sk= (舍)由Sk+12=ak+1(Sk+1),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk)由知，an=对一切nN成立 (3)由(2)得数列前n项和Sn=,S=Sn=0 例3是否存在a、b、c使得等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c) 解 假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有于是，对n=1,2,3下面等式成立122+232+n(n+1)2=记Sn=122+232+n(n+1)2设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)=3(k+1)2+11(k+1)+10也就是说，等式对n=k+1也成立 综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立 学生巩固练习 1 已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A 30B 26C 36D 62 用数学归纳法证明3kn3(n3,nN)第一步应验证( )A n=1B n=2C n=3D n=43 观察下列式子 则可归纳出_ 4 已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_，由此猜想an=_ 5 用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中nN* 6 若n为大于1的自然数，求证 参考答案 1 解析 f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k2)时， f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时， f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2) f(k+1)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于36 答案 C2 解析 由题意知n3，应验证n=3 答案 C3 解析 (nN*)(nN*)、 5 证明 (1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+2342k+13+42k+13=42k+113+