高二数学圆锥曲线的综合问题知识精讲苏教

高二数学圆锥曲线的综合问题知识精讲一. 本周教学内容：圆锥曲线的综合问题二. 重点、难点：教学重点：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程 （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 （4）了解圆锥曲线的初步应用 教学难点：解析几何知识的综合运用，以及与其它知识的灵活运用。三. 知识点归纳：解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的具体来说，有以下三方面：（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号例1 如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a0，b0），且交抛物线y22px（p0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（1）写出直线l的截距式方程；（2）证明：；（3）当a2p时，求MON的大小分析：易知直线l的方程为1，欲证，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y22px交点的纵坐标由根与系数的关系易得y1y2、y1y2的值，进而证得 由0易得MON90亦可由kOMkON1求得MON90（1）解：直线l的截距式方程为1（2）证明：由1及y22px消去x可得by22pay2pab0点M、N的纵坐标为y1、y2，故y1y2，y1y22pa所以（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1，k2当a2p时，由（2）知，y1y22pa4p2，由y122px1，y222px2，相乘得（y1y2）24p2x1x2，x1x24p2，因此k1k21所以OMON，即MON90点评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力例2 已知椭圆C的方程为1（ab0），双曲线1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）（1）当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；（2）当时，求的最大值分析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60易得，由双曲线的焦距为4易得a2b24，进而可求得a、b（2）由，欲求的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程将l与l2的方程联立可求得P点的坐标，进而可求得点A的坐标将点A的坐标代入椭圆方程可求得的最大值解：（1）双曲线的渐近线为yx，两渐近线夹角为60，又0”是“曲线ax2by2c为椭圆”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件2. 到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是（）A. 椭圆B. B所在直线C. 线段ABD. 无轨迹3. 若点（x，y）在椭圆4x2y24上，则的最小值为（）A. 1B. 1C. D. 以上都不对4. 以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 5. 已知F1（3，0）、F2（3，0）是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，当F1PF2时，F1PF2的面积最大，则有（）A. m12，n3B. m24，n6C. m6，nD. m12，n66. 点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x4的距离的比为2，则动点M的轨迹方程为 （ ） A. B. C. 3x2y234x650 D. 3x2y230x6307. P是椭圆上的动点，作PDy轴，D为垂足，则PD中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，（a0，b0），A1、A2是双曲线实轴的两个端点，MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点，则A1M与A2N交点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线的准线l的方程是y1，且抛物线恒过点P （1，1），则抛物线焦点弦的另一个端点Q的轨迹方程是（ ） A. （x1）28（y1） B. （x1）28（y1）（x1）C. （y1）28（x1） D. （y1）28（x1）（x1）二、填空题（5420）10. 双曲线9x216y21的焦距是_。11. 若直线mxny30与圆x2y23没有公共点，则m、n满足的关系式为_；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆1的公共点有_个。12. 设P1（，）、P2（，），M是双曲线y上位于第一象限的点，对于命题|MP2|MP1|2；以线段MP1为直径的圆与圆x2y22相切；存在常数b，使得M到直线yxb的距离等于|MP1|，其中所有正确命题的序号是_。13. 设中心在原点的椭圆与双曲线2x22y21有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_。14. （本题满分16）（1）试讨论方程（1k）x2（3k2）y24（kR）所表示的曲线；（2）试给出方程1表示双曲线的充要条件。15. （本题满分14）设为坐标原点，为直线上的动点，求点的轨迹方程16. （本题满分14） 半径为R的圆过原点O，圆与x轴的另一个交点为A，构造平行四边形OABC，其中BC为圆在x轴上方的一条切线，C为切点，当圆心运动时，求B点的轨迹方程。参考答案1. 答案：B解析：ac0曲线ax2by2c为椭圆，反之成立2. 答案：C解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：yx，其中0x33. 答案：C解析：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线yk（x2）代入椭圆方程（4k2）x24k2x4k240，令0，k，kmin4. 答案：D解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e5. 答案：A解析：由条件求出椭圆方程即得m12，n36. 答案：D解析：，两边平方即得3x2y230x6307. 答案：D解析：设PD中点为M（x，y），则P点坐标为（2x，y），代入方程，即得8. 答案：A 解析：设 M（x1，y1），N（x1，y1），A1M与A2N交点为P （x，y），A1 （a，0），A2（a，0），则A1 M的方程是，A2M的方程是，两式相乘，结合即得9. 答案：B解析：设焦点为F，Q（x，y），则由抛物线定义得：，化简即得10. 答案：解析：将双曲线方程化为标准方程得1a2，b2，c2a2b2 c，2c11. 答案：0m2n23 ， 2 解析：将直线mxny30变形代入圆方程x2y23，消去x，得（m2n2）y26ny93m20令0得m2n23又m、n不同时为零，0m2n23 由0m2n23，可知|n|，|m|1k0k（1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆；2 1k3k20k（，1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；41k3k20k1，表示的是一个圆；6（1k）（3k2）0k（，）（1，），表示的是双曲线；8k1，k，表示的是两条平行直线；10k，