湖南长沙长郡中学高三数学上学期第一次适应性考试一模理

湖南省长沙市长郡中学2019届高三数学上学期第一次适应性考试（一模）试题 理（含解析）第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。2.已知集合若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在CDE内部的概率即可。【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CEED，所以 等腰直角三角形CED的内切圆半径 所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为 直角梯形的面积为 所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为 所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。4.已知为锐角，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。【详解】因为为锐角因为 所以大于90由同角三角函数关系，可得所以= 所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。5.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值满足（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据流程图，依次算出x、y的值，直至满足大于等于，再求得x与y的关系即可。【详解】根据输入，代入流程图得 此时，所以满足所以选C【点睛】本题考查了程序框图循环结构的应用，数列中裂项法求和的应用，属于中档题。6.已知命题数列的通项公式为 为实数，且恒为等差数列；命题数列的通项公式为 时，数列为递增数列.若为真，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式和定义，可分别求得满足各自条件的a取值范围，再由为真可求得a的取值范围。【详解】因为的通项公式为，且恒为等差数列所以由等差数列通项公式可得a=0因为数列的通项公式为 时，数列为递增数列所以由等比数列及递增数列可知 又因为为真所以a的取值范围为 ，即实数的取值范围为所以选B【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的定义及参数取值范围的求法，属于基础题。7.已知函数，则定积分的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据积分定义，将积分区间分为两段分别求：左段可根据微积分基本定理求得积分值，右段根据几何意义求得积分值，两个部分求和即可。【详解】因为所以 的几何意义为以为圆心，以为半径的圆，在x轴上方的部分因而 所以所以选A【点睛】本题考查了积分的求法，微积分基本定理的应用及利用几何法求积分值，属于中档题。8.函数某相邻两支图象与坐标轴分别变于点，则方程所有解的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点可求得，从而得到，求出函数及的对称点，从而发现它们都关于点对称，在同一坐标系中，作出与的图像，结合图像即可求解。【详解】由函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点，可得：.解得：.所以将代入上式得：=0，解得：=，又，所以.所以.令=，则所以的图像关于点对称。令，且=，解得：.所以的图像关于点对称.所以函数与的图像关于点对称.在同一坐标系中，作出与的图像，如图：由图可得：函数与的图像在上有两个交点，这两个交点关于点对称.所以方程有且只有两个零点，且 .所以方程所有解的和为：.故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数图像以及三角函数性质，考查了转化思想及方程思想，考查计算能力，属于中档题。9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面，上取三点，其中为侧面的对角线上一点（与对角线端点不重合），为侧面的一条对角线的两个端点.若以线段为直径的圆过点，则的最小值为( )A. B. C. 4 D. 2【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，当P位于对角线的中点时，P到AB的距离最短，此时m的值最小。根据勾股定理及等腰直角三角形的边关系可求得m的值。【详解】由题意可知，当P在对角线中点时，以AB为直径的圆过P时m的值最小空间结构体如下图所示 以AB为直径的圆过P，此时APB=90，所以即解得 所以选B【点睛】本题考查了空间几何体的简单应用，属于基础题。10.已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线与双曲线交于纵坐标为1的点，直线与抛物线的准线交于，若，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得M的坐标和抛物线的准线方程，进而求得N点的横坐标。根据向量共线的坐标关系，可解方程得c，再由双曲线定义得a、b，即可求得双曲线的标准方程。【详解】抛物线与双曲线交于纵坐标为1的点所以 ，所以抛物线准线方程为，即N点的横坐标为设，由 所以解得c=3所以焦点坐标为（-3，0），（3，0）由双曲线定义可得 所以 ，所以双曲线标准方程为所以选C【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，向量在圆锥曲线问题中的应用，双曲线标准方程的求法，属于中档题。11.小明站在点观察练车场上匀速行驶的小车的运动情况，小车从点出发的运动轨如图所示.设小明从点开始随动点变化的视角为，练车时间为，则函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】过点O作曲线的切线，切点为B,E，再过点O作一直线CD与曲线部分重合，如图，从图像分析即可得到选项。【详解】过点O作曲线的切线，切点为B,E，再过点O作一直线CD与曲线部分重合，如图，当小明从点行驶到点B时，递增，当小明从点行驶到点C时，递减，当小明从点C行驶到点D时，为常数，当小明从点D行驶到点E时，递减，当小明从点E行驶到点P时，递增，故选：D【点睛】本题主要考查了图像特征，考查了分析能力及转化能力，属于基础题。12.定义，已知为函数的两个零点，若存在整数n满足，则的值（ ）A. 一定大于 B. 一定小于 C. 一定等于 D. 一定小于【答案】D【解析】【分析】由为函数的两个零点可得：，.令，得到.即：，将变形为，从而可得.问题得解。【详解】由题可得：.又为函数的两个零点，所以，.将函数图像往上平移时，开口大小保持不变，如图当函数图像往上平移时，变大，即：当时，越大，又由二次函数的对称性得：当时，最大令，则：，就是。又 = 由已知得，所以一定小于，所以一定小于.故选：D【点睛】本题主要考查了韦达定理及方程与函数关系，考查了计算能力及转化能力，属于中档题。第卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在平行四边形中，点是的中点，点是的中点，记，用，表示，则_【答案】【解析】【分析】利用向量的加减法及数乘运算转化求解。【详解】=.又，.解得：【点睛】本题主要考查了向量的加减运算、数乘运算，考查转化能力，属于基础题。14.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】直接利用线性规划知识求最值。【详解】如图，作出直线：，当直线往上平移至与阴影部分的圆的边界相切时，最大，此时圆心到直线的距离等于半径1，即： .解得：【点睛】本题主要考查了线性规划知识，考查转化能力及直线与圆相切的几何关系，属于基础题。15.已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_.【答案】【解析】【分析】根据题意作出如下图形：由圆方程求出圆心连线斜率为：，计算出圆心距，再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形中列方程求得，联立方程即可求出，问题得解。【详解】根据题意作出如下图形：AB为两圆的公切线，切点分别为A,B.当公切线AB与直线平行时，公切线AB斜率不为7，即不妨设过作AB的平行线交于点E，则：，且,直线的斜率为：，所以直线AB与直线的夹角正切为：.在直角三角形中，所以，又,整理得：，解得：，又，解得：，所以=.【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想，属于中档题。16.在各项均为正数的等比数列中，当取最小值时，则数列的前项和为_【答案】【解析】【分析】根据等比数列通项公式及，则；求导函数，令导函数等于0，可求得当取最小值时q的值，进而求得的值，得到通项公式，代入数列可得；结合错位相减法可求得前n项和。【详解】等比数列中，所以 ，令则，令解得 ，因为各项均为正数的等比数列所以当时，当时，所以在时取得最小值设，代入化简可得 所以 两式相减得【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，错位相减法求和，导数在求最值中的综合应用，考查知识点较多，属于难题。三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知中，内角所对的边分别为，且.(1)若，求；(2)若的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据正弦定理，将化为角的关系式，将中的正切函数化为正余弦函数，结合正弦和角公式即可得角B。(2)根据tanA，求得cosA及sinA，结合面积求得bc的值；根据及余弦定理，可求得a、b、c的值，即可得到周长。【详解】解：（1）由题意及正弦定理得，即.由，得，两边同加，得，即.由，得，故.由，得.（2）由，得，故的面积，整理得.又由，得，同联立，得.化简整理得，解得，.故的周长为.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的用法，属于基础题。18.如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，为线段上一点.(1)若，则在线段上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由(2)己知，若异面直线与成角，二而角的余弦值为，求的长.【答案】（1）存在，点是线段上靠近点的一个三等分点；（2）2.【解析】【分析】(1) 延长，交于点，连接。通过证明及，可得M为PB上的一个三等分点，且靠近点P。(2)建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，分别求得平面和平面的法向量，再根据二面角夹角的余弦值即可得参数t的值，进而求得CD的长。【详解】解：（1）延长，交于点，连接，则平面.若平面，由平面平面，平面，则.由，则，故点是线段上靠近点的一个三等分点.（2），平面，平面，则平面以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴、轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，则，设平面和平面的法向量分别为，.由，得即，令，则，故.同理可求得.于是，则，解之得（负值舍去），故.【点睛】本题考查了立体几何的证明，空间向量在夹角问题中的综合应用，法向量的求法与用法，属于中档题。19.随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率（%）级数全月应纳税所得额税率（%）1不超过1500元部分31不超过3000元部分32超过1500元至4500元的部分102超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分203超过12000元至25000元的部分20（1）假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；（2）某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：收入（元）人数304010875先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，随机变量，求的分布列与数学期望；小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少？【答案】（1）；（2）详见解析，220元.【解析】【分析】(1)根据题意可列出纳税y与总收入x的关系式。(2)根据分层抽样，求得及各自抽取人数。从中抽取4人，所以z的可能有三种。分别求这三种情况下的概率，结合分布列与数学期望的求法可得解。 根据调整前后纳税计算公式，分别求得两种情况下的纳税额，求其差即可求得增加额。【详解】解：（1）调整前关于的表达式为，调整后关于的表达式为.（2）由频数分布表可知从及的人群中抽取7人，其中中占3人，的人中占4人，再从这7人中选4人，所以的取值可能为0，2，4， ，所以其分布列为024所以.由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整起征点前应纳个税为元；按调整起征点后应纳个税为元，由此可知，调整起征点后应纳个税少交220元，即个人的实际收入增加了220元，所以小红的实际收入增加了220元.【点睛】本题考查了分层抽样的简单应用，数学期望与分布列的应用，属于基础题。20.已知椭圆的左、右焦点分别为且椭圆上存在一点，满足.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知分别是椭圆的左、右顶点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，是否存在一条定直线，使点恒在直线上?【答案】（1）（2）存在，点在定直线上【解析】【分析】（1）对三角形应用余弦定理即可求得，结合椭圆定义求得，问题得解。（2）设，利用及列方程，整理得：，由整理得：，从而表示出，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得：，代入上式得：，解得：，问题得解.【详解】（1）设，则内，由余弦定理得，化简得，解得，故，得，所以椭圆的标准方程为.（2）已知，设，由，两式相除得.又，故，故，设的方程为，代入整理，得，恒成立.把代入， 得，得到，故点在定直线上.【点睛】本题主要考查了余弦定理及椭圆的定义、简单性质，还考查了两点斜率公式及转化思想，还考查了韦达定理及方程思想，考查计算能力，属于中档题。21.设函数.(1)求函数的极值点个数；(2)若，证明 .【答案】（1）2个（2）详见解析【解析】【分析】(1)由是奇函数，把问题转化成的极值点个数问题，求出，把的正负问题转化成正负来处理，求出，判断的单调性，结合函数零点判断方法即可判断在区间上存在唯一的使.在上不存在使得，问题得解。(2)利用（1）中的结论可知：在区间内恒成立.令，可将问题转化成 ，问题得证。【详解】解：（1）因为为奇函数，其图像关于原点对称，所以只需考虑上的极值点个数，时，.令，当时，单调递减，当时，单调递增，.取，在区间上存在唯一的使.在区间上单调递减，在区间上单调递增.又为奇函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，的极值点共2个.（2）由（1）可知在区间内单调递减，且恒成立.时，即得.又令，得. 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值，还考查了奇函数的特点及转化思想，函数