直线平面简单的几何体

直线 平面 简单的几何体http:/www.DearEDU.com第一部分 平面的几何性质【公理1】如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内（如图1），即： 【公理2】如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线（如图2），即： 【公理3】经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（如图3）。 图1 图2 图3【推论1】经过一条直线和这条直线上的一点有且只有一个平面（如图4）。【推论2】经过两条相交直线有且只有一个平面（如图5）。【推论3】经过两条平行直线有且只有一个平面（如图6）。 图4 图5 图6第二部分 直线与平面的平行与垂直一、直线与直线平行文字语言图形符号定义：在同一个平面内没有公共点的两条直线，平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行。直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行。直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。二、直线与平面平行文字语言图形符号定义：直线与平面没有公共点。直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。平面与平面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。三、平面与平面平行文字语言图形符号定义：两个平面没有公共点。平面与平面平行的判定：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。四、直线与直线垂直文字语言图形符号定义：两条直线成角如果一条直线与两条平行直线中的一条直线垂直，那么它一定与另外一条直线也垂直。直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线一定与该平面中的每一条直线都垂直。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。五、直线与平面垂直文字语言图形符号定义：直线和平面内的每一条直线都垂直。直线与平面垂直的判定：如果一条和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。直线与平面垂直的判定：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。平面与平面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另外一个平面。平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。如果两个相交平面垂直于同一平面，那么这两个平面的交线也垂直于这个平面六、平面与平面垂直文字语言图形符号定义：与成直二面角，则平面与平面垂直的判定：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。第三部分 角与距离一、角 异面直线所成角： 过空间任意一点分别作异面直线、的平行直线、，则与所成的锐角或直角是异面直线与所成的角。与所成角的范围是。 直线（斜线）与平面所成角： 过平面的斜线上不同于斜足的任意一点作平面的垂线，垂足为，则称为斜线与平面所成的角，直线与平面所成角的范围是。 二面角： 以二面角棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角平面角的大小就是二面角的大小，二面角大小的范围是 求二面角的大小关键是作出二面角的平面角，在二面角的平面角的作图中，主要利用定义作图、利用特殊图形作图、利用三垂线定理或逆定理作图法、利用与棱垂直的平面，另外还可利用面积射影定理避开二面角的平面角作图，直接求二面角的大小。1、利用特殊图形的作二面角的平面角主要有两种类型。 由两个有相同底边的等腰三角形组成二面角，如下图所示 如果满足条件：，则二面角的平面角可以按如下方式作图：取中点，连结、，可得：，因此是二面角的平面角。 由两个全等的三角形拼成的二面角， 如在正四棱锥中，与全等，因此二面角的平面角可以按下列方式作出：作于点，连结，可以证明与全等，则，因此是二面角的平面角。2、利用三垂线定理或者逆定理作图 如上图所示，在二面角的平面角的作图中，如果能在其中的一个平面内的一点作出另外一个平面垂线，则可以利用三垂线定理或逆定理找到二面角的平面角若作于点，连结，则是在平面内的射影，根据三垂线定理的逆定理可得：，因此是二面角的平面角若作于点，连结，则是在平面内的射影，根据三垂线定理可得：，因此是二面角的平面角通过上述两个途径可以发现，无论是那种方式，都以过其中的一个面作另外一个平面的垂线为入手点，根据这条垂线，可以确定两个平面内的两个点（上图中的、），分别从其中一点作二面角棱的垂线即可。利用三垂线定理或逆定理作图求二面角的平面角是二面角考察中的重点。二、距离关于距离问题主要有：点与点的距离、点和直线的距离、直线与直线（平行直线、异面直线）的距离、点和平面的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离，在本部分内容中以考察点到平面的距离为主，直线与平面的距离、平面与平面的距离最终都转化为点到平面的距离解决。一般的，要求点到平面的距离，需过点作平面的垂线，为垂足，求线段的长度即为点到平面的距离，但有时垂线并不容易直接作出，以下为常见的解决点到平面的距离的方法 垂面法：对于求点到平面的距离问题，可以利用平面与平面垂直的性质定理采取如下方式解决：作过点的平面，使得，交线为。在平面内过点作直线于，根据平面与平面垂直得性质定理可知，因此线段的长就是点到的距离。 转化法： 等积法： 等积法是将点到平面的距离转化为三棱锥的高，利用调换同一锥体的顶点和底面，但是锥体的体积不变的性质确定点到平面的距离。例如：如图，若要求点到平面的距离，可将到平面的距离看作三棱锥的高，若能求与的面积以及以为底面时棱锥的高，则可以利用三棱锥的体积等于三棱锥的体积，求出到平面的距离。第四部分 简单的几何体一、棱柱1、基本概念： 棱柱： 两个面互相平行，其余各面为四边形 相邻两个四边形的公共边互相平行 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。2、基本元素：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角线、对角面。3、特殊棱柱的关系：四棱柱、平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体4、长方体对角线的性质：长方体对角线的长度的平方等于长方体交于同一顶点的三条棱的长度的平方和。5、直棱柱的侧面积；柱体的体积 【注】斜棱柱的侧面积计算为先求各个侧面面积，再求和，不能按上述公式计算。二、棱锥：1、基本概念： 棱锥： 一个面是多边形； 其余各面是有一个公共顶点三角形。 正棱锥： 底面为正多边形； 顶点在底面射影为底面中心。2、基本元素：底面、侧面、侧棱、顶点、高。3、棱锥中的特征图形及基本元素的计算。 四个直角三角形：、 两个角：、 3、平行于棱锥底面的截面问题 如果棱锥被平行于底面的截面所截，那么截面与底面相似，并且它们的面积比等于截得的棱锥的高与已知棱锥高的平方比。即 如果棱锥被平行于底面的截面所截，那么它们的体积比等于截得的棱锥的高与已知棱锥高的立方比。即 4、面积与体积：正棱锥的侧面积：；锥体的体积三、球1、球的截面性质。 球心与截面圆心的连线垂直于截面； 球心到截面的距离与球的半径及截面的半径，有如下关系： 2、经纬线问题。经线：球面上从北极到南极的半个大圆称为经线。两地的经度之差实际上是两条经线所在半圆所成二面角的度数。纬线：平行于赤道平面的球的小圆称为纬线圈，地球上某一点的纬度就是这一点与球心的连线与赤道平面所成角的度数。3、球面距离：经过这两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度。4、球的内接或者外切几何体。球的内接正方体（长方体）的对角线的长度等于球的直径；球的外切正方体的棱长等于球的直径。5、设球的半径为，则球的表面积为，体积为。第五部分 常见的结论1、等角定理：如果一个角的两边与另外一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角想等。2、最小角定理：斜线与平面所成的角是这条斜线与这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。3、如果一个角所在平面外一点到这个角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。4、经过一个角的两边引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角的两边夹角相等，那么斜线