等比数列的前n项和一人教试验修订本

等比数列的前n项和一研究数列的主要问题之一，就是求数列各项（或某些项）的和，在33中，我们研究了求等差数列前n项和的办法，本节我们将从数列本身的特点出发，寻求有效的方法求等比数列的前n项和【学习目标】1掌握等比数列的前n项和公式的推导，分清公式在公比等于1与公比不等于1的两种不同形式，会进行分类讨论2能利用等比数列求和公式解决一些简单问题【学习障碍】1对等比数列求和公式的条件关注不够，导致解题不够严密2对等比数列求和公式的推导方法理解不够深刻，运用不够灵活【学习策略】学习导引1阅读课本P1271302本课时课本首先探讨了求等比数列前n项和的方法，然后通过四个例题从四个方面给出了求和公式的应用（1）关于求和公式的推导，课本是通过一个具体的等比数列2n1的前64项和S64124263与它的2倍2S64248263264的比较，看出它们之间的差异，从而类比到一般的等比数列，把Sna1a1qa1q2a1qn1与qSna1qa1q2a1qn1a1qn进行比较，得（1q）Sna1a1qna1（1qn）进而得到q1时，Sn，q1时，Snna1课本中求和公式的这一推导方法称为“乘比错位相减法”，其特征是先乘一个公比，再错项后相减学习中要注意掌握这一方法在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为q1故当q1时应按常数列求和即Snna1在含字母参数的等比数列求和时，应分类讨论q1与q1两种情况等比数列的前n项和公式在q1时有两种形式：Sn在使用时要视具体情况灵活选用（2）关于课本中给出的四个例题例1是已知a1、q及n求Sn，是对公式的直接应用；例2是数列在经济生活中的应用，其实质是已知a1，q，Sn求n，要运用公式，通过解方程来得到；例3是混合数列求和问题，要将原数列拆分组合，转化为两个等比数列求和问题；例4是利用Sn讨论an的相关问题，在解题过程中使用了整体解决问题的思想知识拓宽1等比数列的前n项的和公式还有以下证法：（1）用乘法公式证明Sna1a1qa1q2a1qn1a1（1qq2qn1）（1q）（1qq2qn1）（2）用裂项相消法证明q1，Sna1a1qa1q2a1qn-1Sn（3）用解方程的思路证明Sna1a1qa1q2a1qn1a1q（a1a1qa1qn2）a1q（Sna1qn1）Sna1q（Sna1qn1）q1，解关于Sn的方程，可得Sn（4）用等比数列的定义证明an是等比数列，q，即q于是Sn2由一个数列的前n项和Sn可以判断这个数列是否是等比数列由于非常数列的等比数列的前n项和Sn可以看出，式子的组成是由一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项为互为相反的数，由此可以根据前n项和公式判断等比数列，即，非常数列的等比数列是Snaqna（a0，q0，nN*）的充分必要条件3等比数列前n项和公式有时常变为如下形式使用：障碍分析1怎样合理选择公式解答等比数列问题？例1在等比数列an中，已知Sn189，q2，an96，求a1与n解：由Sn及通项公式ana1qn1得即296a1189，a13；2n132，n6点评：通项公式与前n项和公式共含有5个量，知道其中3个便可求出其余2个，共10种情况，这就是“知三求二”法本题也可利用公式Sn先求出a1，再利用公式ana1qn1求出n2怎样利用拆项求和法解答数列求和问题？例2已知an43n，bnxn，求数列anbn的前n项和Sn思路：拆项求和，讨论x1与x1解：Sn（a1b1）（a2b2）（anbn）（a1a2an）（b1b2bn）T1T2又T1 （a1an） （1）（43n） （3n5）而 T2xx2xn，要讨论三种情况：（1）x0时，T20；（2）x1时，T2n；（3）x0且x1时，T2点评一：在求T2时，容易丢掉（1）（2）两种情况一般对含参数求和问题要分类讨论进行Sn，（x0）Sn，（x1）Sn，（x0且x1）点评二：拆项求和，这是常用的求和方法一般地，一个数列由n个特殊数列组成，即有anbncnfn，可用拆项求和法求解3怎样用错位相减法解数列求和问题？例3已知数列，求前n项和Sn思路：观察数列及通项可知，该数列是由等差数列n及等比数列的对应项的乘积组成的数列，因而可采用错位相减法求和解：Sn两边同乘以公比，得用上面两式相减得到Sn1点评：错位相减法是数列求和的又一常用方法一般地，当数列anbn中，an是等差数列，bn是等比数列时，积数列anbn的和可用错位相减法思维拓展例4某人大学毕业参加工作后，计划参加养老保险若每年年末等差额年金p元，即第一年年末存入p元，第二年年末存入2p元，第n年年末存入np元，年利率为k问第n1年年初他可一次性获得养老金本利合计多少元？思路：分期存款，应利用“本利和本金（1利率）”分段计算：第1年年末存入的p元现金，到第n1年年初，共n1年，逐年获得本利和依次构成公比为1k有等比数列，即p（1k）n1；同理，第2年末存入2p元，第n年末存入np元的本利和，依次为 2p（1k）n2，np问题即为数列求和解：设此人第n1年初一次性获得养老保险金为Sn元，则Snp（1k）n12p（1k）n2（n1）p（1k）np （1k）Snp（1k）n2p（1k）n1（n1）p（1k）2np（1k） ，得：kSnp（1k）np（1k）n1p（1k）npSn （元）故第n1年年初此人一次性获得养老金为（1k）n1（n1）k1元探究学习求数列12，1212，121212，的前n项和答案：解：an12102n212102n4121021212（102n2102n41021） （100n1）Sn121212121212 （1001） （10021） （100n1） （1001002100n） （100n1）【同步达纲练习】一、选择题1等比数列an的各项都是正数，若a181，a516，则它的前5项和是A179B211C243D2752数列an中，Sn3nm，当m为何值时，数列an是等比数列（ ）Am1Bm1Cm2Dm03一个小球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，设它第n次着地时，共经过了an米，则当n2时，有 Aanan1Banan1Canan1Dan二、填空题4已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于1，则前8项之和等于_5在等比数列an中，公比q2，log2a1log2a2log2a3log2a1025则a1a2a10_6已知数列：xa，x22a，x33a，xnna（x1）的前n项和为Sn，则S9_三、解答题7计算数列：1，2x，3x2，nxn1，（x1）的前n项和8在等比数列an中，已知对nN*，a1a2an2n1，求a12a22an2参考答案【同步达纲练习】一、1B 提示：a5a1q4，81q416q4数列的各项都是正数，qS52B 提示：a1S13m，a2S2S13236，a3S3S2333218由a1a3a22得：m13B 提示：第二次着地时小球经过了200米，n2时，验证选择排除A、C、D，故选B二、417 提示：S8a1a2a8a1a2a3a4q4（a1a2a3a4）124175 提示：由题意知：log2（a1a2a10）25a1a2a3a10225a110245225即a110，a1a1a2a106 45a 提示：S9（xa）（x22a）（x33a）（x99a）（xx2x9）（a2a9a） 45a三、