江苏省泰州市姜堰区学年高二数学下学期期中试题理 (2)

江苏省泰州市姜堰区2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、填空题：（请将答案填入答题纸相应的答题线上）1.从9道选择题与3道填空中任选一道进行解答，不同的选择方法有_【答案】12【解析】【分析】12道题中选择一道，可根据组合数得到结果.【详解】从9道选择题与3道填空中任选一道进行解答，不同的选择方法有种方法.故答案为：12.【点睛】考查了分类计数原理的应用，比较简单.2.某学校高三年级700人，高二年级700人，高一年级800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取_人.【答案】220.【解析】分析：根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论详解：设全校总共抽取n人，则：故答案为220人.点睛：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础3.执行如图所示的伪代码，最后输出的值为_【答案】14【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S的值，模拟程序的运行即可得解【详解】模拟程序的运行，可得n1，S0满足条件S9，执行循环体，S01+10，n2满足条件S9，执行循环体，S0+1+23，n3满足条件S9，执行循环体，S31+35，n4满足条件S9，执行循环体，S5+1+410，n5满足条件S9，执行循环体，S10-1+514，n6此时不满足Sq时有，则称ip和iq是该数组的一个“好序”，一个数组中“好序”的个数称为此数组的“好序数”，例如，数组（1, 3, 4, 2）中有好序“1, 3”，“1, 4”，“1, 2”，“3, 4”，其“好序数”等于4. 若各数互不相等的正整数组（a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7）的“好序数”等于3，则（a7，a6, a5, a4, a3, a2, a1）的“好序数”是_.【答案】18【解析】【分析】各数互不相等的正整数组（a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7）的“好序数”等于3，这个数组中可以组成对实数，另一个数组的好序数即为对.【详解】各数互不相等的正整数组（a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7）的“好序数”等于3，这个数组中可以组成对实数，则（a7，a6, a5, a4, a3, a2, a1）的“好序数”是对.故答案为：18.【点睛】本题考查一个新定义问题，解题关键是读懂题目条件中所给的条件，并且能够利用条件来解决问题，本题是一个考查学生理解能力的题目二、解答题：（解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15.从5本不同的科普书和4本不同的数学书中选出4本，送给4位同学，每人1本，问：（1）如果科普书和数学书各选2本，共有多少种不同的送法？（各问用数字作答）（2）如果科普书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法？（3）如果选出的4本书中至少有3本科普书，共有多少种不同的送法？【答案】（1）1440种（2）504种（3）1080种【解析】【分析】（1）由题意，先从5本不同的科普书和4本不同的数学书中各选2本，再送给4位同学，可得结论；（2）科普书甲和数学书乙必须送出，从其余7本中选2本，再送给4位同学，可得结论；（3）选出的4本书中至少有3本科普书，包括3本科普书1本数学书、4本科普书，可得结论【详解】（1）从5本科普书中选2本有种选法，从4数学书中选2本有种选法，再把4本书给4位同学有种，所以科普书和数学书各选2本，共有种不同的送法. （2）因为科普书甲和数学书乙必须送出，所以再从其余7本书选2本有种，再把4本书给4位同学有种，所以共有种不同的送法. （3）选出4本科普书有种，选出3本科普书有种，再把4本书给4位同学有种，所以至少有3本科普书的送法为种.【点睛】本题考查排列组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题解排列组合问题要遵循两个原则：按元素(或位置)的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)16.在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生互不相邻，有多少种不同的站法？ （2）四名男生相邻有多少种不同排法？ （3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）【答案】（1）1440（2）576（3）3720（4）840【解析】分析：（1）采取“插空法”可得结果；（2）采取“捆绑法”可得结果；（3）分“甲在右端”、“甲不在两端”两种情况讨论，然后求和即可；（4）先把七个人全排列，再除以即可.详解：（1）=1440;（2）=576;（3）=3720;（4）=840 .点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.17.如图，在正四棱柱中，点是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1) .(2) .【解析】【详解】分析：（1）直接建立空间直角坐标系，求出，D，M四点的坐标写出对于的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求解即可；（2）先根据坐标系求出平面的法向量，然后写出向量，在根据向量夹角公式即可求解.详解：在正四棱柱中，以为原点，、分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系因为，所以， 所以，所以异面直线与所成角的余弦值为 (2)，设平面的一个法向量为则，得，取，得，故平面的一个法向量为 于是，所以直线与平面所成角的正弦值为 点睛：考查线线角，线面角对于好建空间坐标系的立体几何题则首选向量做法，直接根据向量求解解题思路会比较简单，但要注意坐标的准确性和向量夹角公式的熟悉，属于基础题.18.如图，四棱锥的底面是菱形，与交于点，底面，点为线段中点，.（1）求直线与所成角的正弦值；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间坐标系分别求得直线DP和BM的方向向量，进而得到异面直线的夹角；（2）分别求两个平面的法向量，再由向量夹角的计算公式得到结果.【详解】（1）因为是菱形，所以又底面，以为原点，直 分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系则,所以，则 故直线与所成角的余弦值为. 直线与所成角的正弦值为.（2），设平面的一个法向量为，则，得，令，得，得平面的一个法向量为 又,设平面的一个法向量为，得，令，得，得平面的一个法向量为 所以，则 故平面与平面所成二面角的正弦值为.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.19.已知.（1）若，求及的值；（2）若，求最大的系数；（3）定义，若化简.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)由赋值法得到相应的数值；（2）将参数值代入表达式得到其通项公式为，由不等式，可得到，进而得到；（3）按照组合数的展开公式，分组求和即可.【详解】（1）若，令,则， 令，则所以.（2）若，其通项公式为，由不等式解得，且，.所以.（3）若 , 【点睛】本题考查二项式定理的应用,以及组合数公式的相关运算，考查推理能力与计算能力，属于中等题。20.设，在集合的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较大元素相加和记为a，较小元素之和记为b.(1)当n=3时,求a, b的值；(2)当n=4时,求集合的所有3个元素子集中所有元素之和;(3)对任意的，是否为定值？若是定值，请给出证明并求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）（3）见证明【解析】分析】（1）根据题干所给的概念可得到相应的参数值；（2）含有元素1的子集有个，同理含有2,3,4的子集也有个，元素之和为；（3）根据题意分析得到a和b的表达式，再由组合数的公式得到结果.【详解】（1）集合所有2元子集为，较大元素分别为2，3，3，所以；较小元素分别为1，1，2，所以. （2）含有元素1的子集有个，同理含有2,3,4的子集也有个于是所求元素之和为 (3)是为定值，定值为 当n4，