简析函数对称性问题

简单函数对称性问题河北省隆尧县第一中学焦景会055350函数图像的对称性体现了数学对称性。 函数图像对称问题是函数部分的重要问题，也是高考的重点。 本文从两个方面探讨函数的对称性。命题1，函数y=f (a-x )和函数y=f(b-x )的图像关于直线对称。具体地，在a=-b的情况下，函数y=f(bx )和函数y=f(b-x )的图像关于直线x=b对称。推论1，函数和函数的图像关于直线对称证明：因此，通过将函数的图像向左移位的图像函数的图像向右移位来获得函数的图像，其中，所得到的和图像是y轴对称的并且两个函数的图像是线性对称的。 记忆技术：令，易得，对称轴方程式。如果命题2、函数y=f(x )对于定义域中的任意x都为f(a x)=f(b-x )，则函数y=f(x )的图像关于直线对称。 相反。推论2，函数y=f(x )相对于定义域中的任何x，f(a mx)=f(b-mx )、函数y=f(x )的图像关于直线对称。 相反。当命题3、函数y=f(x )对定义域中的任一个x都具有f(x a) f(b-x)=c时，函数y=f(x )的图像关于点成为中心对称图形。其应用实例如下所示。示例1函数y=f(x 1)和函数y=f(3-x )的图像关于_对称解：由命题1可知，两函数图像关于直线x=1对称。例2方程式f(3 2x)=0有3根根时，方程式f(1-2x)=0为_，两方程式的全部根之和为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _解：由普及1可知，由于两函数图像对称，因此两函数图像与x轴交点的数量相同，如果方程式f(1-2x)=0也有3根根，则这6个和为.例3函数y=f(x )对于所有的x都满足f(x a)=f(b-x )。(1)如果方程式f(x)=0正好有2n ()个根，那么这些根的和是多少？(2)如果方程式正好是2n 1()根，那么这些根的和是多少？解：由命题2可知，y=f(x )图像关于对称。(1)方程式f(x)=0正好有2n个根时，方程式根关于x轴上的对应点对称，因此.(2)如果方程式f(x)=0恰好有2n 1根根，则方程式中必定有1根，另外2根根关于x轴上的对应点对称.(1)函数的图像关于(-1，-1)对称。 求出(f(-4) f(-3) f(-2) f(0) f(1) f(2)值.解：的对称中心(0，0 )，通过平移得到对称中心(-1，-1)，根据命题3，f(x) f(-x-2)=-2f(-4) f(-3) f(-2) f(0) f(1) f(2)=补充，供参考1 .函数本身的对称性关于命题1函数的图像直线x=a对称的充分条件是or。 证书(略)推理函数的图像为y轴对称的充分条件如下。关于命题2函数的图像点A(a，b )对称的充分条件是证书(略)推论函数图像关于原点o对称的充分条件偶函数、奇函数分别是命题1、命题2的特例。命题3 (1)函数的图像关于点A(a，c )和点B(b，c )同时成为中心对称()时，是周期函数，是其一个周期。证明：函数的图像以点A(a，c )和点B(b，c )为中心对称的双曲馀弦值。(2)如果一个函数的图像具有两个不同的对称轴，分别为x=m，x=n，则该函数为周期函数。证明：因为函数的对称轴是x=m，x=n (mn ) (1)(x=m-x，x=n-x分别代入(1)和(2)有。 我有的双曲馀弦值。 周期函数，周期为2(m-n )。(3)如果函数的图像关于点A(a，c )是中心对称并且关于直线x=b是轴对称()，则图像是周期函数，其是单周期。证明：函数的图像以点A(a，c )为中心对称因此，取而代之的是：另外，由于函数的图像关于直线是轴对称的，因此代入(* )如下得到获取赋值(* ) :是周期函数，其中一个周期。2 .不同函数的对称性命题4函数的图像关于点是中心对称的。证明：点图像到达后。 点的对称点是图像上的一个对称点，其满足该点的坐标，并且显然是有点的图像。同样，图像中的点对称的点也可以证明位于图像上。与推论函数的图像以原点为中心对称。与命题5函数的图像关于直线是轴对称的。如果证明设置点是图像上的任意点。 关于点直线的对称点是显然有点的图像上。类似地，可以证明，关于图像上的直线，对称的点也位于图像上。与推理函数的图像是直线y轴对称的。命题6 与函数的图像关于直线是轴对称的。与函数的图像关于直线呈轴对称。现证命题6中的设置点是图像