江苏省扬州市邗江区学年高二数学下学期期中理 (2)

20172018学年度第二学期高二数学期中测试卷数 学（理科）（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1、_ _ 2、已知复数（是虚数单位），则|= _ 3、已知（1）正方形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形由（1）、（2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 _4、观察式子，则可以归纳出 5、若向量，满足条件，则 6、对于命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，正确的反设是 _ _7、用数学归纳法证明：“”，在验证成立时，左边计算所得的结果是 8、复平面内有三点，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则点对应的复数是 9、设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为 10、从个男生个女生中挑选人参加智力竞赛，要求既有男生又有女生的选法共有_种（用数字作答）11、用数学归纳法证明“能被整除”的过程中，当时，式子应变形为 12、某单位安排位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班天，若位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有_ _13、我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式 中，“”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得.类比上述过程，则 14、如图所示，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，分别为的中点设异面直线和所成的角为，则的最大值为 二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）已知复数（1）当实数为何值时，复数为纯虚数 （2）当时，计算.16. （本小题满分14分）（1）求证：；（2）已知且，求证：中至少有一个小于17（本小题满分14分）AEFBCDH如图，在多面体中，四边形是正方形，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面. 18（本小题满分16分）如图，在长方体中，点是棱的中点，点 在棱上，且（为实数）（1）求二面角的余弦值； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；（3）求证：直线与直线不可能垂直19. （本小题满分16分）某班级共派出个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有种选法.（1）试求和； （2）判断和的大小（），并用数学归纳法证明.20.（本小题满分16分）观察如图： 1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15问：（1）此表第行的最后一个数是多少？ （2）此表第行的各个数之和是多少？（3）2018是第几行的第几个数？ （4）是否存在，使得第n行起的连续10行的所有数之和为若存在， 求 出的值；若不存在，请说明理由 扬州市邗江区2017-2018学年度第二学期期中试卷高 二 数 学 （理） 答 案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 20； 2. ； 3. 正方形的对角线相等； 4. ； 5. ； 6.假设至少有两个钝角 ； 7、； 8. ， 9. 10. ； 11. ； 12. 624； 13. ； 14. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、解：（1）复数 . 4分 . 6分即 . 7分（2） .14分16解：（1）证明：因为和都是正数，所以为了证明，只要证 ，只需证：， . 3分即证: ，即证: ，即证: 21， . 6分 因为2125显然成立，所以原不等式成立. 7分（2）证明：假设都不小于2，则 . 10分 ， 即 . 13分这与已知矛盾，故假设不成立，从而原结论成立. . 14分17. (1) 如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，令则 .2分（1） 设与的交点为，连接则， .4分又，. 6分平面平面，平面.7分（2）. 10分又，且 ，平面. 14分18. 解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系则，.2分 设平面的法向量为，则即令，则 平面的一个法向量又平面的一个法向量为.4分故，即二面角的余弦值为.5分（2）当 =时，E（0，1，2），F（1，4，0），所以.8分因为 ，所以为锐角， 从而直线EF与平面所成角的正弦值的大小为.10分 (3)假设，则.12分 ，.14分 化简得该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线不可能垂直.16分 19解：（1），.4分 （2）因为，所以，由此猜想：当时，都有，即.下面用数学归纳法证明（）. .6分 时，该不等式显然成立. . .8分假设当时，不等式成立，即，. .10分则当时，要证当时不等式成立.只要证：，只要证：. . .13分令，因为，所以在上单调递减，从而，而，所以成立.则当时，不等式也成立. . .15分综合、得原不等式对任意的均成立. .16分20. 解：（1）由已知得出每行的正整数的个数是1，2，4，8，其规律： 由此得出第行的第一个数为：，共有个， 所以此表第n行的最后一个数是. . 3分（2）由（1）得到第n行的第一个数，且此行一共有个数，从而利用等差数列的求和公式得： 第n行的各个数之和. 6分（3）由（1）可知第n行的最后一个数是.当时，最后一个数