江苏淮安高中校协作体高一数学下学期期中

江苏省淮安市高中校协作体2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列说法正确是（）A. 任意三点确定一个平面B. 梯形一定是平面图形C. 平面和有不同在一条直线上的三个交点D. 一条直线和一个点确定一个平面【答案】B【解析】【分析】根据平面性质中的公理及其推论逐个验证即可【详解】A选项，不共线的三点确定一个平面，A错 C选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，C错 D选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面 B选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，故B对， 故选：B【点睛】本题考查了平面性质中的公理及其推论，属于基础题注意公理1的作用是判断直线在面中，公理2的作用是判断点共线或线共点，公理3及其推论的作用是判断平面的存在性与唯一性.2.已知船在灯塔北偏东85且到的距离为，船在灯塔西偏北55且到的距离为，则两船的距离为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理可得距离【详解】依题意可得，在三角形中，由余弦定理可得： ，故选：D【点睛】与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.3.如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由图可得：，这是一道求异面直线所成角的题目，角的落实是关键。结合三角形进行求解是本题的重点.考点：异面直线所成角、余弦定理4.的内角的对边分别为，若，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据正弦定理即可求出【详解】，由正弦定理可得，则，故选C【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.5.正方体的表面积与其外接球表面积的比为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由正方体的体对角线的长就是其外接球的直径的大小，因此可得到外接球的直径，进而求得半径，再代入球的表面积公式可得球的表面积【详解】设正方体的棱长为，不妨设，正方体外接球的半径为，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：，即；所以外接球的表面积为：则正方体的表面积与其外接球表面积的比为：故选：B【点睛】本题考查正方体与球的知识，正方体的外接球的概念以及正方体棱长与其外接球的直径之间的数量关系，球的表面积的计算，此类问题属于基础题6.的内角的对边分别为，若，则（）A. B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】利用三角形的内角和定理可求的值，进而根据余弦定理可求的值【详解】，由余弦定理可得：故选：A【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的综合应用，注意利用三角形的内角和为来转化，此类问题属于基础题7.在正三棱锥中，分别是的中点，下列结论：；平面；平面；，其中错误的结论个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】利用正三棱锥的性质即可判定，对于利用线面平行的判定定理进行判定，对于利用反证法进行判定，运用正三棱锥的性质和线线垂直的性质可判断【详解】根据正三棱锥的性质可知对棱互相垂直，故正确，面，面，平面，故正确若平面，则，因为，故但 矛盾，故不正确由可得，可得，即正确故选：B【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，属于基础题8.中，则一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】分析】由已知，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断【详解】，由正弦定理可得，即，或，或，即三角形为等腰或直角三角形，故选：D【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点9.已知为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若在内的射影互相平行，则D. 若，则【答案】A【解析】由题知，则，又，则正确；，可能会现，错误；若在内的射影互相平行，两直线异面也可以，错误；若，可能会出现，错误故本题选10.中，角的对边分别为，且，则面积的最大值为（注：恒成立）（）A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过正弦定理化简表达式，利用余弦定理求出的大小，再利用余弦定理求出的最大值，从而求得三角形面积的最大值详解】，由正弦定理得，即；由余弦定理得，结合，得；又，由余弦定理可得，当且仅当等号成立，即面积的最大值为故选：A【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.又二元等式条件下的二元函数的最值问题可考虑用基本不等式来求.二、填空题（本大题共6小题，共36.0分）11.如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为_【答案】【解析】试题分析：取中点F，连接，分别为的中点，平面，为直线与平面所成角，=，则考点：直线与平面所成的角；12.在中，内角的对边分别为，若，则_【答案】3：4【解析】【分析】直接根据正弦定理即可求出【详解】由正弦定理可得，则，故答案为：【点睛】在中，正弦定理有一个变形：（为外接圆的半径），这个关系式可以把边的关系转化为角的三角函数关系或把角的三角函数关系转化为边的关系13.在长方体中，则点到平面的距离是_【答案】【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量，则即，取，得，点到平面距离：故答案为：【点睛】空间中点到平面的距离的计算，应该通过作出垂足把距离放置在可解的平面图形中计算，注意在平面图形中利用解三角形的方法（如正弦定理、余弦定理等）来求线段的长度、面积等.我们也可以利用空间向量来求，把点到平面的距离问题转化为直线的方向向量在平面的法向量上的投影问题.14.中，若，则的面积为_【答案】1【解析】【分析】直接根据三角形的面积公式计算即可【详解】由，则，故答案为：1【点睛】本题考查了三角形的面积公式，属于基础题15.圆锥的全面积为，侧面展开图的中心角为60，则圆锥的体积为_【答案】【解析】试题分析：因为设圆锥的底面半径为，母线为，利用圆锥的底面周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，推出底面半径与母线的关系，通过圆锥的表面积求出底面半径，得，圆锥的高，即圆锥的高为，即圆锥的体积 考点：锥体的侧面积公式【思路点睛】设圆锥的底面半径为，母线为，利用圆锥的底面周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，推出底面半径与母线的关系，通过圆锥的表面积求出底面半径，求出圆锥的高，然后再根据圆锥的体积公式，即可求出圆锥的体积16.的内角的对边分别为，已知，则角_【答案】【解析】【分析】根据题意，由正弦定理分析可得，结合和角公式可得，变形可得，即可得的值，结合正弦定理可得，结合的范围分析可得答案【详解】根据题意，中，则有，又由，则有，变形可得，因，则，即，又由，则，又由，则，则；故答案为：【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）17.已知，内角所对的边分别为，且满足下列三个条件：；求：（1）内角和边长的大小；（2）的面积【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理可得即，再由可得，（2）由和可求出，再根据三角形的面积公式计算面积即可【详解】（1）由，可得，又，则，由可得（2），可得，即则【点睛】在解三角形中，我们常常碰到边、角的关系式，一般地，如果关系式中含有边的二次关系，那么我们考虑用余弦定理，如果关系式中是边的齐次形式，我们可以利用正弦定理把关系式转化为关于角的三角函数的关系式18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，若分别为的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面【答案】（1）根据题意，证明线面平行，关键是先证明线线平行，即（2）对于面面垂直的证明，一般先证明线面垂直，结合面面垂直的判定定理来得到。【解析】【分析】（）利用线面平行的判定定理，只需证明EFPA，即可 （）先证明线面垂直，CD平面PAD，再证明面面垂直，平面PAD平面PDC即可【详解】（）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点，正方形对角线互相平分，F为AC中点，又E是PC中点，在CPA中，EFPA，且PA平面PAD，EF平面PAD， EF平面PAD（）平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CDAD，平面 CD平面PAD，CD平面PDC， 平面PAD平面PDC【点睛】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理，以及平面与平面垂直的判定定理，要求熟练掌握相关的判定定理19.在中，内角所对的边分别为，且满足，的面积为6（1）求角的正弦值；（2）求边长的值【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由已知利用余弦定理可求，结合范围，可得值（2）由三角形面积公式可求，由余弦定理可求，联立结合解得的值【详解】（1）由，得：，即，（2），由，及、，得：，由、及解得，【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.20.如图，和所在平面互相垂直，且，分别为的中点（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）可证 且，从而平面，再根据为中位线可得，由此能证明平面 （2）作，交的延长线于，推导出平面，到平面的距离是长的一半，最后利用求给定三棱锥的体积【详解】（1），分别为的中点， 和所在平面互相垂直是中点，同理，又，平面分别是的中点，平面（2）在平面内，作，交的延长线于，如图，平面平面，平面平面，平面 ， 平面又为的中点，到平面的距离是长的一半，在中，三棱锥的体积：【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.21.如图所示，有两条相交成60角的直线，交点为甲、乙分别在上，起初甲离点，乙离点，后来甲沿的方向，乙沿的方向，同时以的速度步行求：（1）起初两人的距离是多少？（2）后两人的距离