江苏苏州第五中学高中数学1.3三角函数的图像和性质学案无答案苏教必修4

=13 三角函数的图像和性质一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议三角函数的图象几何描点法、五点描图法理解通过实例分析来认识周期和周期函数；在用描点法作函数图象时，正确地描出图象上的点是作图关键，作图之前首先就这个问题展开讨论；在教学中要指导学生养成利用图象认识、研究、记忆函数性质的习惯，做到以性作图，以图识性，以图记性；图象与正弦曲线的关系是难点，在教学中要从简单到复杂，从特殊到一般，从具体到抽象，逐步总结图象的变换的规律.三角函数的性质定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域图象平移变换、伸缩变换二、 预习指导1预习目标(1)了解三角函数的周期性，知道三角函数的最小正周期为会求一些函数的最小正周期；(2)会用单位圆中的三角函数线画出正、余弦函数正切函数的图象，并能根据图象理解正、余弦函数、正切函数的性质：如周期、最值、单调性、奇偶性、对称性了解并掌握正、余弦函数的有界性，即|1，|1，并能根据有界性探求三角函数的值域和最值；(3)会用“五点法”画函数的简图弄清三个参变数的名称、作用以及它们对函数图象的影响；(4)能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到的的图象；(5)会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型2 预习提纲(1)查阅初中教材(九年级下册)第7.5至7.6节，复习锐角三角函数在解直角三角形及解决实际生活问题中的运用；(2) 阅读教材第24页至26页理解函数的周期性，周期定义中特别注意“每一个x值”，周期是针对自变量x的改变量，可与函数奇偶性定义相类比；(3)阅读教材第26至34页，完成下列表格；正弦、余弦、正切函数图象与性质正弦函数余弦函数正切函数解析式图象定义域值域(最值)周期性奇偶性对称轴对称中心单调性增减(4)阅读教材第34至45页，根据课本内容填空，形如的函数：表示振动量时，填写下列几个物理量：振幅_；频率_；相位_；初相_；函数的图象与图象间的关系：函数的图象可以看做将函数的图象上所有的点_而得到；函数图象，可以看做将函数的图象上所有点的_而得到；函数图象，可以看做将函数的图象上所有点的_而得到；函数图象，看做将函数的图象上所有的点_而得到对于三角函数图象的变换，要多从具体实例出发，经历结论的探索过程，通过充分的思考和探究，发现两个图象之间的关系，而不应该死记住结论；(5) 体会课本例题.教材37页例1画函数的简图给出了三种方法：方法一是五点法，方法二和方法三都是利用正弦曲线通过图形的变换作图，但变换的顺序不同.图形变换中的左右平移和伸缩变换在代数形式上都是对点的横坐标x而言的.教材41页例1是一个物理问题，简谐振动的物体对平衡位置的位移x和时间t之间满足函数关系三角函数在物理中有比较多的应用，物理中的单摆运动、波的传播、交流电等内容都可以用三角函数来分析和理解.3 典型例题例1 求下列函数的周期分析：根据周期定义求解解：(1)设的周期为T，则,即对任意的实数 都成立，也就是对任意都成立，其中，由的周期为，可知,即，所以的周期为(2)设的周期为T，则,即对任意的实数都成立，也就是对任意都成立，其中，由的周期为，可知,即，所以的周期为(3)设的周期为T，则，即，因为，所以的周期为点评：周期性是三角函数较为显著的特征，此处采用的是定义法事实上对于、及的周期讨论更多采取公式法或图象法例2 若函数的最小正周期为T，且，求的取值范围分析：根据周期公式列出关于不等式求解解：由题意知：或点评：本题需要注意的是公式的正确使用，特别是公式中的绝对值例3 根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的的取值范围：(1)； (2) 分析：根据三角函数图象先写出一个周期上的取值范围，再延伸到整个定义域上解：(1)由正弦函数的图象知：，(2)，由余弦函数的图象知：，点评：用三角函数图象是解简单三角不等式的主要方法之一，解题时应充分利用三角函数的周期性来简化问题事实上也可以利用三角函数线来求解例4 求下列函数的定义域：(1)； (2) 分析：化简后即为解三角不等式，可利用三角函数线或图象求解解：(1)，或，则的定义域为 (2)，或，则的定义域为点评：本题是求三角函数与其它函数复合的函数定义域问题，其本质为解三角不等式例5 求下列函数的值域(1)； (2) 分析：用换元法将问题化归为已知的函数值域问题解：(1) 令则，所以，故所求函数的值域为(2) 令则，因为，所以，故所求函数的值域为点评：本题是通过对三角函数的换元重温对二次函数、分式函数等典型函数值域问题的处理方法例6 已知求的最小值和最大值.分析：利用等式进行消元，将问题化归为二次函数的最值问题解：由已知得：， ，又，而，当时，有最小值；当时，有最大值点评：本题特别需要关注的是对sinx的范围的确定，既有其自身的范围，又受到siny的约束例7 已知函数的最小值为，(1) 求； (2) 若，求及此时的最大值分析：先将三角函数的最值问题化归为二次函数的最值问题，再利用二次函数的图象根据对称轴的不同取值范围进行分类讨论解：(1) 由题得：若即时，则当时有最小值，；若即时，则当时有最小值，；若即时，则当时有最小值，所以(2) 若，则只可能或，分别解之得：所以时，此时的最大值为5点评：本题是典型的含参二次函数的最值问题，重点考查分类讨论的数学思想需要注意的是根据图象弄清分类讨论的依据，且用分段函数的形式表示例8 若方程有解，求的取值范围分析：从不同角度理解题意可考虑不同的处理方法解：法一(求根公式法)原方程可变形为，当即时原方程有解或，解得：法二(图象法)设，则，原方程有解图象与轴在内有交点，若有一个交点：；若有两个交点： ，解得：解法三：(转化为求函数的值域)原方程可变形为：，视为的函数，问题的实质就是求它的值域，所以点评：虽然本题介绍了三种方法，但此类问题的解法多数情况下选择方法三(分离参数法)，因为此方法可将问题转化为求一具体函数(不含参数)的值域问题例9 求下列函数的单调增区间(1) ；(2) ；(3) 分析：根据复合函数的单调性分析方法求解，需要注意x前系数的符号及定义域的问题解：(1) 由题，即求的单调减区间令得，所以单调增区间为(2) 由得，因为为减函数，所以要求的单调增区间，即求在定义域内的单调减区间，所以，所以的单调增区间为(3) 令，则，因为在区间上单调递减，所以要函数单调递增，则函数就要单调递减因此函数的单调递增区间为点评：“同增异减”是复合函数单调性的复合法则，处理复合函数单调性问题关键在于分离出内外函数，并牢记定义域优先原则例10 判断下列函数的奇偶性(1) ； (2).分析：先确定函数的定义域，然后根据奇函数或偶函数的定义判断函数的奇偶性解：(1)函数的定义域为R，且因为，所以为奇函数(2)，故函数的定义域为由于函数的定义域不关于原点对称，所以既不是奇函数，也不是偶函数点评：判断函数奇偶性的基本步骤：一判断函数的定义域是否关于原点对称；二是判断的关系，根据奇偶函数的定义下结论例11 若，求的值分析：利用奇偶性解题解：设，则，为奇函数，即为奇函数，点评：本题也可考虑直接将两式相加，整体消元的方法例12 求函数的图象的对称轴方程和对称中心的坐标分析：用整体思想代换即可解： 令则，即函数的对称轴为；令，则，即函数的对称中心为点评：需要注意的是对称轴方程是直线方程，而对称中心的坐标是点的坐标例13 求函数的定义域分析：对于本身需要解：由题得：所以的定义域为：点评：本题除了考虑根式、分母等因素外，特别要注意的就是自身的取值范围此外，相关范围取交集也是本题易错之处例14 判断函数的奇偶性，并求出其值域分析：根据正切函数的图象与性质进行分析即可解：函数的定义域不关于原点对称，所以它是非奇非偶函数由在上为单调增函数，得其值域为，即为点评：本题是对正切函数性质的简单讨论，主要是进一步熟悉正切函数的图象与性质例15 求的单调区间分析：先化为，再利用整体法求单调区间解：由题得，令，得，所以在内为单调递增函数故在内为单调递减函数点评：本题与例9方法类似，需要注意的是正切函数自身单调性的特别之处例16 试说出函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到分析：根据平移变换、周期变换、相位变换及振幅变换的法则逐步变换即可解：法一： 将函数的图象依次进行如下变换：把函数的图象向左平移得到函数的图象；(1)把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到函数的图象；(2)把函数的图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得到函数的图象；(3)把函数的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象法二：将函数的图象依次进行如下变换：(1)把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到函数的图象；(2)把函数的图象向左平移得到函数的图象；(3)把函数的图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得到函数的图象；(4)把函数的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象点评：解法一、解法二的对比主要是为了说明周期变换与相位变换互换顺序之后的影响事实上只要清楚图象的变换是针对单个的x、y而言即可例17 已知函数的图象在轴右侧的第一个最高点为，与轴在原点右侧的第一个交点为，求这个函数的解析式分析：根据图象信息先求出振幅A及周期T，从而得出，再代入特征点求解解：由题意，所以T=16，将点M的坐标代入，得，即，所以满足的为最小正数解，即，从而所求的解析式点评：对于特征点的选择一般考虑最高点或最低点，因为平衡点有两类，易错例18 弹簧挂着的小球作上下振动，它在时间秒内离开平衡位置(就是静止时的位置)的距离由函数关系决定，(1) 求小球开始振动时离开平衡位置的距离；(2) 求小球上升到最高点和下降到最低点的位置；(3)经过多少时间，小球往返一次？(4)每秒钟内小球往返多少次分析：理解函数关系式的实际意义解：(1) 令得，即小球开始振动时离开平衡位置的距离为；(2) 令得故最高点的位置为；令得故最低点的位置为；(3) 因为函数的周期为，所以大约每经过约3.14秒小球往返一次；(4) 因为频率，即每秒钟往返振动约0318次点评：这是实际问题中的三角函数模型，借此例认真体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型，同时注意解决问题时要考虑实际意义4 自我检测(1)求下列函数的最小正周期：； ； (2) 若，则_； 若，则_(3)比较下列各组数的大小： ； ； _； ； ； (4)求下列函数的定义域；(5)的值域为 _(6)函数的增区间是 _(7)已知函数，xR的图象为C：图象C_(怎样变换)可得函数的图象；图象C_(怎样变换)可得函数的图象；图象C_(怎样变换)可得函数的图象(8)用作调频无线电信号的载波以为模型，其中t的单位是秒，则此载波的周期为_，频率为_(9)将函数ysin(6x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是 (10)设点P是函数f(x)cosx(其中0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离最小值是，则函数f(x)的最小正周期是 (11)函数f(x)sinx在区间a，b上是增函数，且f(a)1，f(b)1，则cos的值为 三、 课后巩固练习A组1(1) 函数的最小正周期是_； (2) 函数的最小正周期是_；(3) 若函数的最小正周期为，则a_2(1) 函数(xR)的最小值为_，此时x_；(2)函数(xR)的最小值为_，此时x_3函数的振幅_；周期_；频率_；相位_；初相_；对称中心_；对称轴_4函数与轴距离最近的对称轴是_5求下列函数的定义域：(1) ； (2) ； (3) .6求下列函数的值域：(1) ； (2) ；(3)； (4) .7(1)求函数的单调减区间；(2)求函数的单调增区间8写出下列函数的单调区间：(1) 增区间_减区间_；(2) 增区间_减区间_；(3) 增区间_9 判断下列函数的奇偶性：(1)； (2)； (3)10(1)函数是奇函数，则的值为_；(2)设函数f(x)sin2x，若f(xt)是偶函数，则t的一个可能值是_11若是以为周期的奇函数，且，则_12如果函数的最小正周期是T，且当时取得最大值，则T= ， 13已知函数的最大值为，最小值为，则_，_14函数的一段图象如图所示,则A_=_15函数的部分图象如图，则_16(1)把函数的图象向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标压缩为原来的(纵坐标不变)，所得函数解析式为_(2)把函数的图象上各点的横坐标压缩为原来的(纵坐标不变)，再把图象向左平移个单位，所得函数解析式为_B组17设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是_18(1)若函数的周期满足，求的正整数值；(2)若的周期不大于2，求正整数的最小值19判断下列函数是否为周期函数，若是，写出其最小的正周期：(1) ；(2)； (3) ；(4)20已知奇函数在时，求时，的解析式21求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)22求下列函数的值域：(1)； (2)23已知，则的取值范围是_24求函数的最值25(1)若在区间0，上的最大值为，求；(2)已知函数f(x)2sinx在区间，上的最小值为2，则的取值范围是 26是正实数，函数在上是增函数，求的取值范围27已知函数在内是减函数，求的取值范围28设函数的一条对称轴是直线，(1)求； (2)求函数的单调递增区间29若函数的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后将所得图象先向左平移 个单位，再向下平移1个单位，得到的曲线与的图象相同，求的表达式30函数在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时，函数的最大值为3，当时，函数的最小值为3，试求此函数的解析式31某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度为0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度y(单位：星等)与时间t(单位：天)之间的关系的一个三角函数为_32如图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离为h，(1)求h与间关系的函数解析式；(2) 设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间的函数解析式C组33(1)已知是周期为6的奇函数，则 ；(2)已知是R上的奇函数，时，则= 34已知函数的最大值为2，求实数的值35定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_36设函数，若对任意都有成立，则的最小值为_37为了使函数在区间上至少出现50次最大值，则的最小值 38设函数，它们的最小正周期分别为,且，已知，求的解析式39和的图象围成的一个封闭的平面图形的面积为 40函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是_41先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，那么与最后所得图象所对应的函数解析式是_ 42.对于函数给出下列结论：图象关于原点成中心对称；图象关于直线成轴对称；图象可由函数的图像向左平移个单位得到；图像向左平移个单位，即得到函数的图像。其中正确结论是_43已知定义在上的奇函数满足为偶函数，对于函数有下列几种描述：是周期函数；是它的一条对称轴；是它图像的一个对称中心；(4)当时，它一定取最大值，其中描述正确的是 44已知函数f(x)Acos(x)的图像如下图所示，f()，则f(0)等于_45.动点A(x，y)单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t0时，点A的坐标是(，)，则当0t12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是 46.已知函数f(x)3sin(x)(0)和g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同若x0，则f(x)的取值范围是 47方程2sin2xx3的解有_48已知，当方程f(x)=m有两个不相等的实数根时，(1)求m的取值范围； (2)求方程的两实根之和49.若满足为使满足条件的的值：(1)存在；(2)有且只有一个；(3)有两个不同的值；(4)有三个不同的值，分别求实数的取值范围50.设函数是奇函数，并且在R上为增函数，若时，恒成立，求实数的取值范围51.已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时，函数的图像如下(1)求函数在的表达式；(2)求方程的解知识点题号注意点定义域与周期性求函数周期的几种方法奇偶性与对称性注意有函数对称性确定函数参数一类题的方法单调性注意研究复合函数的单调性是对内函数单调性的确定值域与最值利用函数的单调性看函数的值域函数的图象与解析式理解函数图象的变换是图象上点的变换综合题灵活运用所学知识四、 学习心得五、 拓展视野三角学的历史早期三角学不是一门独立的学科，它依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品例如，古希腊梅内劳斯著球面学，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的梅内劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密著天文学大成，初步发展了三角学而在公元499年，印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分直到纳西尔丁的横截线原理书才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的论各种三角形这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲三角学传播的源泉雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面几何和球面几何中的应用建立了牢固的基础他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对16世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响三角学一词的英文是trigomometry，来自拉丁文tuigonometuia最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯，他在1595年出版的三角学：解三角形的简明处理中创造了这个词其构成法是由三角形和测量两字凑合而成要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的16世纪三