江苏苏州陆慕高级中学高二数学下学期期中理

2018-2019学年度高二年级数学学科第二学期期中试题（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是 . 2. 的展开式中常数项为 .3. 用反证法证明命题：“如果，可被整除，那么中至少有一个能被整除”时，假设的内容应为 . 4. 利用数学归纳法证明“ ”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 5. 分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设，且，求证：” 索的因应是 . ；.6. 若，则 . 7. 现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 种不同的选派方案.（用数字作答）8. 观察下列式子：，根据以上式子可以猜想第2019个式子是 . 9. 平行六面体ABCDA1B1C1D1中，且,则等于 . 10. 设复数（为虚数单位），则 . 11. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点不同色，现有5种不同颜色可用，则不同染色方法的总数是 .12若多项式则 . 13现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为. 类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 . 14. 观察下列等式：cos 22cos21；cos 48cos48cos21；cos 632cos648cos418cos21；cos 8128cos8256cos6160cos432cos21；cos 10mcos101280cos81120cos6ncos4pcos21.可以推测，mnp . 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本小题满分14分）已知是虚数，是实数（1）求为何值时，有最小值，并求出|的最小值；（2）设，求证：为纯虚数16. （本小题满分14分）从中任取2个数，从中任取2个数，（1）能组成多少个没有重复数字的四位数？（2）若将（1）中所有个位是的四位数从小到大排成一列，则第个数是多少？17. （本小题满分14分）已知函数，其中证明：（1）在区间上为单调增函数；（2）方程无负实数根 18. （本小题满分16分）已知的展开式的二项式系数和比的展开式的系数和大992.求的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.19（本小题满分16分）如图，平行四边形所在平面与直角梯形所在平面互相垂直，且，为中点（1）求异面直线与所成的角；（2）求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值20（本题满分16分）已知为正整数，（1）证明：当时，；（2）对于，已知求证:；（3）求出满足等式的所有正整数2018-2019学年度高二年级数学学科第二学期期中试题（理科）评分标准1.“自然数是3的倍数”2. 3. a、b都不能被5整除 4. 左边=2（2k+1）=5.6.57.55 8. 9.5 10. 11. 420 12. 13. 14. 15解：设，则所以，又可得 4分（1）表示点到点的距离，所以最小值为 7分解方程组并结合图形得 9分（2）又，所以为纯虚数 14分16.不用0时，有个；用0时，有个；共有个四位数. 7分 “15”，中间所缺的两数只能从中选排，有个；“25”，中间所缺的两数是奇偶数各一个，有个；“35”，仿“15”，也有个；“45”，仿“25”，也有个；“65” 也有个；即小于的数共有个.故第个数是，第个数是，第个数是，第个数是. 14分17.证明：（1）当时， 所以，在区间上为单调增函数；5分 （2）假设方程有负实数根，7分 所以， 因为，所以，所以， 则， 当时，；当时， 所以不存在，这与假设相矛盾，所以假设不成立， 所以，方程无负实数根14分18.解：由题意 （1）的展开式中第6项的二项式系数最大，即. 5分 （2）设第项的系数的绝对值最大，16分19.在中，所以所以，所以又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面4分如图，建立空间直角坐标系，则6分设异面直线与所成的角为，则所以异面直线与所成的角为； 11分 是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则，得，取，则，故是平面的一个法向量，13分设平面与平面所成的二面角（锐角）为，则 16分20第（1）小题共5分；第（2）小题共5分；第（3）小题共6分解法1：（1）证：用数学归纳法证明：（）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；2分（）假设当时，不等式成立，即，则当时，于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综合（）（）知，对一切正整数，不等式都成立5分（2）证：当时，由（）得：，（令易知）7分于是，10分(3)解：由（）知，当时，12分即即当时，不存在满足该等式的正整数故只需要讨论的情形：当时，等式不成立；当时，等式成立；当时，等式成立；当时，为偶数，为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立综上，所求的只有16分解法2：（1）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当，且时，（）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，因