重庆市第一中学届高三数学上学期期中试题理

重庆市第一中学2020届高三数学上学期期中试题 理 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案）1.在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限.A一 B二 C三 D四2.设，条件，条件，则是的（ ）条件.A充分不必要 B 必要不充分 C充要 D既不充分也不必要3.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）A若，则为异面直线.B若，则 C若，则 D若，则4.已知正数满足，则的最小值为（ ）A B C D5.设函数，则下列说法中正确的是（ ）A为奇函数 B为增函数 C的最小正周期为 D图像的一条对称轴为 6.设正项等比数列的前项之和为，若，则的公比（ ）A B C D或7. 已知集合，则（ ）A B C D正视图俯视图左视图8.已知向量满足，则（ ）A B C D9.某几何体的三视图如右图所示,其中俯视图与左视图中的圆的半径均为,则该几何体的体积为（ ）A B C D10.王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数则该QQ群人数的最小值为（ ）A B C D11.如下图，正方体中，为中点，在线段上.给出下列判断：存在点使得平面；在平面内总存在与平面平行的直线；平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置无关；三棱锥的体积与点的位置无关.其中正确判断的有（ ）A B C D 12.已知函数，等差数列满足条件，则（ ）A B C D二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.实数满足，则的最大值为 14.大衍数列，来源于我国的乾坤谱，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前项依次是：，则大衍数列的第项为 15.已知正三棱锥的底面边长为，体积为，则其外接球的表面积为 16.设函数，若方程恰有两个不相等的实根，则的最大值为 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17.（原创）（本题满分12分）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如下图所示，在中，已知,设为的费马点，且满足，.（1）求的面积； （2）求的长度.18.（本题满分12分）数列满足，（1）证明：为等差数列，并求的通项公式；（2）求数列的前项之和为19.（原创）（本题满分12分）已知四棱锥的底面为正方形，且该四棱锥的每条棱长均为，设的中点分别为,点在线段上，如下图.（1）证明：（2）当平面时，求直线和平面所成角的正弦值.20.（原创）（本题满分12分）已知函数（1）经过点作函数图像的切线，求切线的方程.（2）设函数，求在上的最小值.21.（原创）（本题满分12分）已知椭圆方程为（1）设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上运动，求的值.（2） 设直线和圆相切，和椭圆交于两点，为原点，线段分别和圆交于两点，设的面积分别为，求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程（本题满分10分）已知曲线的参数方程为，（为参数）（1）若点在曲线上，求的值；（2）过点的直线和曲线交于两点，求的取值范围.23. （原创）选修45：不等式选讲（本题满分10分）已知正实数满足（1） 证明：；（2） 证明：2019年重庆一中高2020级高三上期11月月考试题参考答案数 学（理） 一、选择题.(每小题5分,共60分)题号123456789101112答案DABCDCACABDD二、填空题.(每题5分,共20分) 13. 14. 15. 16. 三、解答题.(共70分)17.解：（1）由已知，所以在中，故所以的面积（2） 在中，由正弦定理（*）而,代入（*）式得18.解：（1）由已知由定义知为等差数列，且公差为，首项为故（2） 由已知故错位相减得即，所以19.解：（1）证明：由已知为正四棱锥，设交于点，由正棱锥的性质可知平面，所以，由于正方形满足，为的中位线，故，所以所以平面，而平面，所以（2）分别以为坐标轴建立如图坐标系，此时设，且，其中即，设平面的法向量为，由于,由解得由平面知解得，此时，由于，故所以直线的方向向量，设和平面所成角为，则20.解：（1）由于，设切点坐标为，则切线斜率；另一方面故，此时切点坐标为所以切线方程为，即（2）由已知，故由于，故，由于在单调递增同时，故存在使得且当时，当时，所以当时，当时，即函数先减后增.故由于，所以21.解：（1）由已知，设由焦半径公式，结合故，故（2） 当直线斜率不存在时，其方程为，由对称性，不妨设为，此时，故若直线斜率存在，设其方程为，由已知设，将直线与椭圆联立得由韦达定理结合及可知：将韦达定理代入整理得结合知，设，则综上的取值范围为22.解：（1）已知等价于，由于所以等价于整理得曲线的普通方程为，将代入解得（2）设直线