江苏西亭高级中学第一学期高二数学竞赛苏教

江苏省西亭高级中学2006-2007学年度第一学期高二数学竞赛试卷说明：本试卷分第卷和第卷.考试时间120分钟，满分160分.请将第卷选择题的答案用2B铅笔填涂到答题卡上，第卷的答案做在答卷纸的相应位置上.交卷时只交答题卡和答卷纸，试卷自己保留.第卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分)1. 椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数的值为 （ ）A B C25 D92函数的导数是函数单调递增的 （ ）A充要条件 B 充分不必要条件C必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件3已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）A B C D4以圆锥曲线过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无交点，则此圆锥曲线 （ ） A. 是椭圆 B. 是双曲线 C.是抛物线 D.不能确定5若抛物线的焦点是F，准线是，点M(4,m)是抛物线上一点，则经过点F、M且与相切的圆一共有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个6P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作F1PF2外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（ ）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线7抛物线上离点最近的点恰好是顶点，则结论成立的充要条件是（ ）A B C D8下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是（ ） 游戏1游戏2游戏33个黑球和一个白球一个黑球和一个白球2个黑球和2个白球取1个球，再取1个球取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色甲胜取出的球是黑球甲胜取出的两个球同色甲胜取出的两个球不同色乙胜取出的球是白球乙胜取出的两个球不同色乙胜A. 游戏1和游戏3 B. 游戏1 C. 游戏2 D. 游戏39. 对于抛物线C：y24x，我们称满足y024x0的点M(x0，y0)在抛物线内部，若点M(x0，y0)在抛物线内部，则直线l：y0y2（xx0）与抛物线C （ ）A恰有一个公共点 B恰有两个公共点C可能一个公共点，也可能两个 D没有公共点10设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时 ，且，则不等式的解集是（ ） A B C D第卷（非选择题 共100分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为_12如图所示, 底面直径为的圆柱被与底面成的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为 13在曲线y=x3-x上有两点O(0，0)、A(2，6)，点P在弧OA上，且使AOP的面积最大，则点P的坐标为 . 14当 时，直线与抛物线只有一个公共点15设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，（a、b、c 是两两不等的常数），则 16如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则 三、解答题：（本大题共4小题；共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分16分）已知三点P（5，2）、（6，0）、（6，0）；（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（2）设点P、关于直线yx的对称点分别为、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程18（本小题满分18分）已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M；（1）求该抛物线的方程；（2）过点M作，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M点为圆心，MB为半径作圆M，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系19（本题满分18分）已知抛物线:，:，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线.（1）若，求与的公切线方程；（2）若直线与和分别相切于点、，且,求的值.20（本小题满分18分）设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （1）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（2）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.参考答案110 BBDAD ACDDC11. 12. 13. 14.a=0或2 15.0 16.3517解（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距；， ，故所求椭圆的标准方程为+；（2）点P（5，2）、（6，0）、（6，0）关于直线yx的对称点分别为：、（0，）、（0，6）设所求双曲线的标准方程为，由题意知半焦距， ，故所求双曲线的标准方程为18解：（1）抛物线的准线为，于是；抛物线方程为（2）点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2），又F（1，0）， ；则FA的方程为，MN的方程为；解方程组 可得 （3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2；当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，当m4时，直线AK的方程为，即为；圆心M（0，2）到直线AK的距离，令，解得；当时，直线AK与圆M相离；当m=1时，直线AK与圆M相切；当时，直线AK与圆M相交19.思路分析:1.利用导数的几何意义求出切线斜率关于切点坐标的表达式;2.由公切线得切点坐标关于所求待定系数的表达式;3.把已知弦长转化为关于所求待定系数的方程.解:y=(-x2)=-2x,y=(-x2+ax)=-2x+a,C1在点A的切线方程是y+xA2=-2xA(x-xA),即y=-2xAx+xA2. C2在点B的切线方程是y+xB2-axB=(-2xB+a)(x-xB),即y=(-2xB+a)x+xB2是C1与C2的公切线.解得.,.a=.解题回顾:一般地,利用导数几何意义可分别求出公切线在两切点的斜率,由同一条直线的斜率,截距相等,列出关于切点坐标的方程组,解得切点坐标,由相关公式把已知数量关系转化为所求待定系数的方程.20解（1）依题意，可设直线AB的方程为，整理得 设的两个不同的根， 4分是线段AB的中点，得解得k=-1，代入得，12，即的取值范围是（12，+）.6分于是，直线AB的方程为8分（2）代入椭圆方程，整理得 的两根，于是由