江苏苏锡常四高三数学教学情况调查二

江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.已知集合A，B，则AB_【答案】【解析】【分析】直接由交集运算得解。【详解】因为A，B，所以【点睛】本题主要考查了交集的运算，属于基础题。2.已知复数，其中是虚数单位，则_【答案】1【解析】【分析】利用复数的除法及乘法运算求得，再利用复数的模的公式求解。【详解】因为所以【点睛】本题主要考查了复数的乘法、除法运算，还考查了复数的模的定义，考查计算能力，属于基础题。3.已知双曲线C的方程为，则其离心率为_【答案】【解析】【分析】由双曲线C的方程可求得，问题得解。【详解】由双曲线C的方程可得：所以，所以【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查计算能力，属于基础题。4.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为_【答案】8【解析】【分析】按程序图依次执行即可得解。【详解】依据程序图依次执行得：成立成立成立不成立，结束循环输出【点睛】本题主要考查了循环结构语句及其执行流程，属于基础题。5.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为_【答案】55【解析】【分析】设高一、高二分别抽取，个人，按分层抽样方法列出比例关系，解方程即可求得，问题得解。【详解】设高一、高二分别抽取，个人，由题可得：，解得：，所以抽取的样本容量为（人）【点睛】本题主要考查了分层抽样方法中的比例关系，考查方程思想，属于基础题。6.口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为_【答案】【解析】【分析】从袋中随机抽取两个球共有6个不同的结果，其中取出的两个球的编号之积大于6的有2种不同的结果，利用古典概型概率公式即可得解。详解】从袋中随机抽取两个球，编号有：和，和，和，和，和，和，共种结果，其中取出的两个球的编号之积大于6的有:和，和，共种结果，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为.【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算公式，属于基础题。7.已知等比数列的前n项和为，若，则_【答案】【解析】【分析】由整理得：，整理得：，问题得解。【详解】设等比数列的公比为，首项为由可得：所以【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及前项和公式，考查计算能力，属于中档题。8.函数的图像关于直线对称，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由题可得：，求得：，问题得解【详解】因为函数的图像关于直线对称，所以，所以.解得：，又，所以当时，最小且为【点睛】本题主要考查了三角函数性质，考查计算能力及分析能力，属于中档题。9.已知正实数，b满足b1，则的最小值为_【答案】11【解析】【分析】对变形为，再转化为，利用基本不等式即可求得最小值，问题得解。【详解】因为，且都是正实数.所以当且仅当时，等号成立.所以的最小值为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，还考查了化简、计算能力，属于中档题。10.已知偶函数的定义域为R，且在0，)上为增函数，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】由是偶函数可得：，将等价转化成，再利用在0，)上为增函数，可得：，解不等式可得：，问题得解。【详解】因为是偶函数，所以，所以等价于又在0，)上为增函数，且，所以.即：，解得：，即或所以的解集为【点睛】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的应用，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题。11.过直线：上任意点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，PAB的面积为_【答案】【解析】【分析】由切线长公式可得，要使得最小，则要最小。由题可得：的最小值就是点到直线的距离，即可得到，此时，利用三角形面积公式得解。【详解】依据题意作出图象，如下图：因为直线过点且与圆相切于点A，所以,所以,要使得最小，则要最小，由题可得：的最小值就是点到直线的距离.此时，所以由切线的对称性可得：所以PAB的面积为【点睛】本题主要考查了圆的切线长公式及圆的有关性质，考查转化能力及计算能力，还考查了点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于中档题。12.已知点P在曲线C：上，曲线C在点P处的切线为，过点P且与直线垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OPOQ，则点P的纵坐标为_【答案】1【解析】【分析】设，,则：，利用导数求得切线的斜率为，即可求得直线斜率为，表示出直线的方程：，联立直线与抛物线方程可得，利用韦达定理可得，由OPOQ可得，整理得，解方程，问题得解。【详解】依据题意直作出图象，如下：设，,则：，.因为所以曲线C在点P处的切线斜率为：，又过点P且与直线垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，所以且，所以所以直线的方程为：联立直线与抛物线方程可得：，整理得：.所以又因为OPOQ，所以,即：，整理得：.所以，解得：所以所以点P的纵坐标为【点睛】本题主要考查了利用导数求切线斜率及互相垂直的两直线间的斜率关系，还考查了韦达定理及方程思想，考查计算能力，属于难题。13.如图，在等腰直角三角形ABC中，CAB90，AB2，以AB为直径在ABC外作半圆O，P为半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】以点为原点，方向为轴正半轴，方向为轴负半轴建立平面直角坐标系，设，利用可求得：，以AB为直径在ABC外所作半圆的方程为：（），由圆的参数方程可设,即可整理得：，其中且，再利用正弦函数的性质求得最小为，问题得解。【详解】以点为原点，方向为轴正半轴，方向为轴负半轴建立平面直角坐标系，如下图：则，,，所以直线的方程为：，即：，可设.所以，,又，所以，解得：所以，以AB为直径在ABC外所作半圆的方程为：（）由圆的参数方程可设,所以所以=，其中且所以，当时，最小为【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量数量积的坐标运算，还考查了圆的参数方程应用及函数思想，考查了辅助角公式，考查计算能力，属于难题。14.已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题可得：，恒成立，对范围分类可得：时不满足题意，时满足题意，时，将不等式转化为：，利用导数求得，即可求得：，问题得解。【详解】因为函数的图像恒在直线上方，所以，恒成立，即：恒成立.当时，若，不满足恒成立.当时，恒成立.当时，不等式恒成立等价于：， 记，则，此时，在上递减，在上递增，在上递减，其简图如下：所以，所以，又，解得：.综上所述：【点睛】本题主要考查了转化能力及分类思想，还考查了利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于难题。二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在三棱锥PABC中，过点P作PDAB，垂足为D。E，F分别是PD，PC的中点，且平面PAB平面PCD（1）求证：EF平面；（2）求证：CEAB【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由中位线知识可得，结合线面垂直的判定定理，问题得解。（2）由面面垂直的性质可得平面，问题得解。【详解】（1） 分别是的中点， 是的中位线 又平面，平面 平面（2），平面平面，平面平面 ，平面 平面又平面 【点睛】本题主要考查了线面平行的证明及线线垂直的证明，考查了转化思想及面面垂直的性质，属于中档题。16.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的大小；（2）若cos(B)，求cosC的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简得：，结合即可求得，问题得解。（2）由诱导公式及两角和的余弦公式整理可得，由已知即可求得，问题得解。【详解】（1）由正弦定理可得：.所以，整理得：又.解得：所以或（舍去）所以（2）， , 【点睛】本题主要考查了正弦定理及三角恒等变形，还考查了诱导公式，考查转化能力及构造能力，考查计算能力，属于中档题。17.某工厂拟制造一个如图所示的容积为36立方米的有盖圆锥形容器（1）若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；（2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？【答案】（1）；（2）当容器的高为6米时，制造该容器的侧面用料最省【解析】【分析】（1）设圆锥形容器的高为米，由锥体体积公式列方程可得，即可求得，即可求得圆锥的母线长为，利用锥体侧面积公式即可求得侧面积，问题得解。（2）设圆锥形容器的高为，即可表示出该容器的侧面积为，利用基本不等式即可求得的最小值，问题得解【详解】（1）设圆锥形容器的高为米，底面半径为6米，由圆锥形容器的容积为36可得：，解得：（米）圆锥的母线长.所以该容器的表面积为：（）（2）设圆锥形容器的高为米，底面半径为米，由圆锥形容器的容积为36可得：，解得：所以圆锥的母线长所以该容器的侧面积为.当且仅当，即：时，等号成立.所以当容器的高为米时，制造该容器的侧面用料最省.【点睛】本题主要考查了圆锥的体积公式及表面积公式，还考查利用基本不等式求最值，考查计算能力及转化能力，属于中档题。18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(ab0)的左、右顶点分别为A1(2，0)，A2(2，0)，右准线方程为x4过点A1的直线交椭圆C于x轴上方的点P，交椭圆C的右准线于点D直线A2D与椭圆C的另一交点为G，直线OG与直线A1D交于点H（1）求椭圆C的标准方程；（2）若HGA1D，试求直线A1D的方程；（3）如果，试求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由题可得：，利用椭圆准线方程可得，即可求得，问题得解。（2）设，即可表示直线的方程为：，联立直线与椭圆方程可求得，即可求得，由HGA1D可列方程，整理得：，结合即可求得，从而求得，问题得解。（3）设，表示出直线的方程为：，直线的方程为：，将直线方程分别与椭圆方程联立，即可求得，联立直线的方程与直线的方程即可求得，即可表示出,，利用列方程可得：，即可表示出，结合即可求得，问题得解。【详解】（1）由题可得：，又椭圆右准线方程为4，所以，解得：，又，解得：所以椭圆C的标准方程为：.（2）设（）,则且所以直线的方程为：联立直线的方程与准线方程可得：，整理得：，所以，所以.又HGA1D，所以，即：联立可得：.所以.所以直线的方程为：.（3）设，其中直线的方程为：联立椭圆方程可得：，解得直线的方程为：联立椭圆方程可得：，解得，所以直线的方程为：联立直线的方程与直线的方程可得：，解得：所以,又，所以所以整理得：因为，所以，整理得：【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了韦达定理及两直线垂直的斜率关系，考查了方程思想，还考查了向量的数乘运算及转化思想，考查计算能力及化归能力，属于难题。19.已知函数，其中 R（1）如果曲线在x1处的切线斜率为1，求实数的值；（2）若函数的极小值不超过，求实数的最小值；（3）对任意1，2，总存在4，8，使得成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）2；（3）【解析】【分析】（1）求得，利用曲线在处的切线斜率为1列方程可得：，问题得解（2）由（1）可得：，函数的极小值不超过，说明函数有极小值，即可判断且其极小值，可转化成，记，利用导数可得在上递减，结合，即可求得，问题得解。（3）记在的值域为，在的值域为，“对任意，总存在，使得成立”可转化成： 恒成立，对的大小分类，即可判断函数的单调性，利用 列不等式即可得解。【详解】（1）由题可得：，所以又曲线在处的切线斜率为1，所以，解得：（2）因为函数的极小值不超过，说明函数有极小值则，其极小值即：记：，上述不等式可转化成当时，要使得，则因为恒成立，所以在上递减， 所以实数的最小值为（3）记在的值域为，在的值域为对任意，总存在，使得成立，则 成立（）当时，在递增，不满足 （）当时，在递减，在递增，不满足 （）当时，在递减，在递增，要使得 ，则即：整理得：（）当时，在递减，在递增，要使得 ，则即：整理得：（）当时，在递减，不满足 .综上所述：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及极值的概念，还考查了利用导数判断函数的单调性并利用单调性解不等式，还考查了分类思想及转化思想，考查分析能力及计算能力，属于难题。20.已知数列是各项都不为0的无穷数列，对任意的n3，n， 恒成立（1）如果，成等差数列，求实数值；（2）已知1求证：数列是等差数列；已知数列中，数列是公比为q的等比数列，满足，(i)求证：q是整数，且数列中的任意一项都是数列中的项【答案】（1）（2）见解析见解析【解析】【分析】（1）令，可得，两边同除以，可得：，结合，成等差数列可得：，问题得解。（2）在 中，用代可得： ，两式作差可得：，整理得：，再利用数学归纳法证明，假设时， 成等差数列，且公差为，则当时，成立，问题得证。数列是等差数列，公差为，即可求得：，即可求得，所以是整数，由，成等比数列即可求得：，令，整理得：，又，利用二项式定理展开得：，即可求得：，问题得解。【详解】（1）由题可得：当时，两边同除以，可得：因为，成等差数列，所以所以，解得：（2）由题可得：当时， （）用代上式中的，可得： （）（）（）得：上式两边同除以可得：整理得：整理得：（）由（1）得，当时，成等差数列，结论正确.（）假设时，结论正确。即：成等差数列，且公差为下证时， 成等差数列.即证又.所以成立.由（）（）可得：对任意的，数列是等差数列.由得：数列是等差数列，公差为所以，（）又，成等比数列，所以，即：整理得：所以，所以是整数数列中的任意一项令，则整理得：，整理得：又所以解得：即：存在，使得：成立所以数列中的任意一项都是数列中的项【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、通项公式及方程思想，还考查了等差数列的证明及赋值法，考查了构造思想及转化思想，还考查了二项式定理及等比数列的通项公式，考查计算能力、分析能力，转化能力，属于难题。21.已知矩阵A，其逆矩阵，求【答案】【解析】【分析】直接利用矩阵与其逆矩阵的关系列方程可得：，再利用矩阵运算法则即可求解。【详解】因为,所以 =所以，即：，所以所以【点睛】本题主要考查了矩阵的运算法及矩阵与其逆矩阵之间的关系，考查计算能力，属于基础题。22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线上两点M，N的极坐标分別为(2，0)，（ ，)，求直线被曲线C截得的弦长【答案】【解析】【分析】求出两点M，N的直角坐标分別为(2，0)，即可求得直线的方程为：，利用点到直线距离公式即可求得圆心到直线的距离为，再利用圆的弦长公式即可得解。【详解】因为两点M，N的极坐标分別为(2，0)，（ ，)，所以两点M，N的直角坐标分別为(2，0)，.所以直线的斜率为：.所以直线的方程为：，即：.曲线C的参数方程为可化为：.即曲线C是一个以为圆心，半径为的圆。圆心到直线的距离为所以直线被曲线C截得的弦长为.【点睛】本题主要考查了点的极坐标与直角坐标互化，还考查了求直线方程及点到直线距离公式，考查了圆的弦长公式及转化能力，考查计算能力，属于中档题。23.已知正数，b，c满足bc2，求证：【答案】见解析【解析】【分析】构造柯西不等式模型，利用柯西不等式证明。【详解】证明：正数，b，c满足bc2故命题成立.【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式证明不等式，考查了构造能力，属于中档题。24.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点（1）求线段AF的中点M的轨迹方程；（2）已知AOB的面积是BOF面积的3倍，求直线的方程【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设线段AF的中点的坐标为，即可求得，将它们代入即可得解。（2）设，由AOB的面积是BOF面积的3倍可得：直线的斜率存在，且的面积是面积的2倍，即可整理得：，设直线的方程为：，联立直线方程与抛物线方程可得：，结合即可求得：，问题得解。【详解】（1）设线段AF的中点的坐标为，由抛物线的方程