重庆开州区高二数学期末考试文

2018年春高二（下）期末测试卷文科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用复数的代数运算法则即可得出详解：故选：B点睛：本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先求出集合A，B，由此利用交集运算能求出AB详解：，故选：D点睛：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用3. 命题 ， ，若 是 成立的充分条件，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先简化命题p，q，由 是 成立的充分条件建立m的不等关系，解之即可.详解：由可得，即命题；由可得，即命题； 是 成立的充分条件，即故选：B点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则是的充分条件2等价法：利用 与非非， 与非非， 与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.3集合法：若 ，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件4. 已知函数 ，它的导函数记为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：求出导函数，然后求出即可.详解：f（x）=sinx+cosx=cosxsinx故选：A点睛：本题考查了导数的基本公式，三角函数的特值，属于基础题.5. 有人用三段论进行推理：“函数 的导函数 的零点即为函数的极值点，函数 的导函数的零点为 ，所以 是函数 的极值点 ”，上面的推理错误的是（ ）A. 大前提 B. 小前提 C. 推理形式 D. 以上都是【答案】A【解析】分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“函数 的导函数 的零点即为函数的极值点”，不难得到结论详解：大前提是：“函数 的导函数 的零点即为函数的极值点，”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，大前提错误，故选：A点睛：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论6. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析： 程序本身是求数列的前项和，可用裂项相消法求和详解：由程序框图知，本程序是求数列的和： ，时，时，此时有，故输出故选D点睛：模拟程序运行，观察变量的变化规律，弄懂程序的数学实质是解题的关键7. 已知命题 ， ， ， ，有下列命题： ； ； ；.其中真命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先判断出p，q的真假，再分别讨论复合命题的真假，从而得到结论详解：命题 ，为真命题；当x时， ， 为真命题；由此可知：，为假命题，为真命题，为假命题故选：A点睛：本题考查了复合命题的真假的判断，解题关键明确简单命题的真假，然后结合真值表即可作出判断，属于基础题8. 设 ， ， （为自然对数的底数），则， ， 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据对数函数与指数函数的性质可借助中间数比较详解：，故选D点睛：比较大小时，能用一个函数的，可根据函数的单调性进行比较，不能归到一个函数的可借助于中间数比较，如0，1，2等等9. 已知函数 ，则（ ）A. 无极值点 B. 有极小值点 C. 有极大值点 D. 既有极大值又有极小值点【答案】D【解析】分析：先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的极值情况详解：令，可得，,可得或在上单调递增，在上单调递减，是极大值点，2是极小值点， 既有极大值又有极小值点故选：D点睛：求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.10. 关于 的方程 在区间 内有两个不等实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据二次方程与相应二次函数图象的关系，列出关于a的不等式组，解之即可.详解：关于 的方程 在区间 内有两个不等实根，解得故选：C点睛：处理二次方程根的分布问题，一般抓四方面：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于x轴的交点个数；四是，区间端点值. 11. 甲乙两人均知道丙从集合 ， ， ， 中取出了一点 ，丙分别告诉了甲 点的横坐标，告诉了乙点的纵坐标，然后甲先说：“我无法确定点 的坐标”，乙听后接着说：“我本来也无法确定点 的坐标，但我现在可以确定了”，那么，点 的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：甲无法断定，得出点的横坐标不唯一；乙既然能作出判断，说明纵坐标是唯一的.详解：甲知道了点的横坐标，但无法作出判断，可断定此点横坐标不唯一，排除，乙点的纵坐标，既然能作出判断，此点纵坐标应该是唯一的，故应是故选：C点睛：本题考查了简单的合情推理，属于中档题12. 已知定义在 上的函数 的图象是一条连续不断的曲线，记其导函数为 ，若 对任意 成立，当 时， ，则关于 的方程 （ ）的实根的个数为（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】分析：由题意明确函数的奇偶性，构造新函数，明确新函数的单调性与对称性，问题从而得解.详解：由，可知函数为奇函数，设，则，当 时，在上单调递增，又函数 的图象是一条连续不断的曲线，且为奇函数，在上单调递增，且关于中心对称，图象与x轴至多有一个交点，故选：D点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 曲线 在点 处的切线方程为_.【答案】【解析】分析：求导数，确定处的切线的斜率，即可求得切线方程详解：求导数可得f（x）=sinx+xcosx，时，f（）=又f（）=曲线f（x）=xsinx在处的切线方程为y= ，即故答案为：点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为14. 已知 ， ，复数 的虚部为 ，则 的最小值为_.【答案】【解析】分析：由复数 的虚部为得到，然后利用均值不等式求最值即可.详解：,又复数 的虚部为，即，且 ， ，2，当且仅当时，等号成立 的最小值为4故答案为：4点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.15. 已知函数 ，则 _.【答案】【解析】分析：利用f（x）+f（x）=+4=4，即可得出详解：f（x）+f（x）=+4=ln1+4=4，f（lg3）+f（lg）=f（lg3）+f（lg3）=4故答案为：4点睛：本题考查了函数的奇偶性、对数的运算性质，属于基础题16. 一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示.若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第 件工艺品所用的宝石数为_颗（结果用 表示）.【答案】【解析】设第一件宝石数a1=6，第n-1件工艺品所用的宝石数an-1，第n件工艺品所用的宝石数an，则an-an-1=5+4（n-1），an-1-an-2=5+4（n-2），,a3-a2=5+42,a2-a1=5+41,则：an-a1=5（n-1）+41+2+（n-1）=2n2+3n-5,又a1=6，an=2n2+3n+1.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数 .（1）若函数的定义域为 ，求实数的取值范围；（2）当 且 时，求函数 的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）函数的定义域为等价于；（2）根据对勾函数的图像与性质得到值域.详解：（1）； （2），由双勾函数知其值域为.点睛：本题考查二次函数的图象与性质，考查了对勾函数的图象与性质，属于基础题.18. 某研究型学习小组调查研究高中生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如下：使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀学习成绩不优秀合计（1）根据以上统计数据，你是否有 的把握认为使用智能手机对学习有影响？（2）为了进一步了解学生对智能手机的使用习惯，现在对以上使用智能手机的高中时采用分层抽样的方式，抽取一个容量为 的样本，若抽到的学生中成绩不优秀的比成绩优秀的多 人，求 的值. 【答案】（1）有；（2）.【解析】分析：(1) 根据所给的数据做出这组数据的观测值，把观测值同临界值进行比较，得到该研究小组有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学习有影响；(2)根据分层抽样原则易得 的值.详解：（1），所以有99.5%的把握认为二者有关；（2）.点睛：本题主要考查分层抽样法的应用、独立性检验.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19. 已知函数 在 时取得极值，且在点 处的切线的斜率为 .（1）求 的解析式；（2）求 在区间 上的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据函数f（x）在x=2处有极值，且在x=1处切线斜率为3，列出方程组；（2）利用导数求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值与最小值.详解：（1）；（2），所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以，.点睛：函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值20. 某班主任从本班 名男生， 名女生中随机抽取一个容量为 的样本，对他们的数学及物理成绩进行分析，这 名同学的数学及物理成绩（单位：分数）对应如下表：学生序号1234567数学成绩物理成绩 （1）根据以上数据，求物理成绩 关于数学成绩 的线性回归方程（系数均精确到 ），并预测班上某位数学成绩为 分的同学的物理成绩（保留到整数）；（2）从物理成绩不低于 分的样本学生中随机抽取 人，求抽到的 人数学成绩也不低于 分的概率.参考公式： ， .已经计算出： ， .【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据已知回归直线方程的系数公式求出系数，得回归方程；（2）物理不低于分的有人，分别为学生，用列举法写出任取2人的所有事件，其中数学不低于分的是4，6，7，计数后可概率详解：（1）故；代入x=96得,y=95.（2）物理不低于分的有人，分别为学生，随机抽取人的可能为，其中数学也不低于分的可能为，则有：.点睛：本题考查线性回归直线方程，考查古典概型概率计算，解题时只需按公式计算方程的系数即可简单的古典概型概率问题一般是用列举法写出所有基本事件，然后计数21. 已知函数 （ ， ）.（1）讨论函数的单调性；（2）若关于 的不等式 恒成立，求的取值范围.【答案】（1）当时， 在上递增；当时， 在上单递减，上单递增；（2）.【解析】分析：(1) 由，求得f（x）=然后分a1与a1两种情况讨论，从而得到f（x）的符号，可得f（x）在其定义域（0，+）内的单调性，最后综合可得答案；(2)原不等式等价于，令，求其最小值即可.详解：（1），当时，故在上单增；当时，故在上单减，上单增；（2） ，令所以在上单减，在上单增，故.点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解. 请考生在2223两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程直线的参数方程为 （为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线与曲线 交于不同的两点 ，.（1）求实数的取值范围；（2）已知 ，设点 ，若 ， ， 成等比数列，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)把直线的参数方程化为普通方程，曲线 的极坐标方程化为普通方程，二者联立，利用判别式法得到实数的取值范围；(2) 把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到关于t的一元二次方程.由0，且|M