重庆第一中学高二数学考试

重庆市第一中学2019-2020学年高二数学上学期10月考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1. 若直线的倾斜角为60，则直线的斜率为（）A. B. C. D. 2. 在等差数列an中，a2+a4=36，则数列an的前5项之和S5的值为（）A. 108B. 90C. 72D. 243. 经过点A（2，5），B（-3，6）的直线在x轴上的截距为（）A. 2B. C. D. 274. 在ABC中，BC=3，则C的大小为（）A. B. C. D. 5. 方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是( )A. 或B. C. D. 6. 如图，正方体AC1中，E、F分别是DD1、BD的中点，则直线AD1与EF所成的角余弦值是（）A. B. C. D. 7. 已知数列an为等比数列，则a1a10的值为（）A. 16B. 8C. D. 8. 设F1、F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|+|=2，则F1PF2=（）A. B. C. D. 9. 与直线xy40和圆x2+y2+2x2y0都相切的半径最小的圆的方程是（）A. B. C. D. 10. 已知点P（7，3），圆M：x2+y2-2x-10y+25=0，点Q为在圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|+|SQ|的最小值为（）A. 7B. 8C. 9D. 1011. 如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体A-BCD，使平面ABD平面BCD，若四面体A-BCD顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，为直线ON的倾斜角，若，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题）13. 椭圆+=1的焦距长是_14. 已知圆C：x2+y2+8x-m+1=0与直线相交于A，B两点若|AB|=2，则实数m的值为_15. 已知ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2-bc，且ABC的面积为，则a的最小值为_16. 设Sn为数列an的前n项和，则S1+S2+S100=_三、解答题（本大题共6小题）17. 已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+（a-2）y+a=0（1）若l1l2，求实数a的值；（2）当l1l2时，求直线l1与l2之间的距离18. 已知椭圆C的焦点在x轴上，两个焦点与上顶点组成一个正三角形，且右焦点到右顶点的距离为1（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（3，0）作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，求|AB|19. 如图，为对某失事客轮AB进行有效援助，现分别在河岸MN选择两处C，D用强光柱进行辅助照明，其中A，B，C，D在同一平面内，现测得CD长为100m，ADN105，BDM30，ACN45，BCM60（1）求BCD的面积；（2）求船AB的长20. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ABD=90，EB平面ABCD，EFAB，AB=2，EB=，EF=1，BC=，且M是BD的中点（1）求证：EM平面ADF；（2）求多面体ABCDEF的体积V21. 已知圆C的圆心C在直线x-2y=0上（1）若圆C与y轴的负半轴相切，且该圆截x轴所得的弦长为4，求圆C的标准方程；（2）已知点N（0，-3），圆C的半径为3，且圆心C在第一象限，若圆C上存在点M，使|MN|=2|MO|（O为坐标原点），求圆心C的纵坐标的取值范围22. 已知椭圆C的两个焦点坐标分别是F1（-，0）、F2（，0），并且经过点P（，-）（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B当=，且满足时，求AOB面积S的取值范围答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为直线的斜率k和倾斜角的关系是：k=tan倾斜角为60时，对应的斜率k=tan60=故选：A直接根据倾斜角和斜率之间的关系即可得到结论本题主要考查直线的倾斜角和斜率之间的关系以及计算能力，属于基础题目做这一类型题目的关键是熟悉公式2.【答案】B【解析】解：在等差数列an中，a2+a4=36，数列an的前5项之和：S5=90故选：B利用等差数列的前n项和公式、通项公式直接求解本题考查等差数列的前5项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.【答案】D【解析】解：经过点A（2，5），B（-3，6）的直线方程为=，即+=1，故直线在x轴上的截距为27，故选：D由题意利用直线方程的两点式求出直线的方程，再化为截距式，可得结论本题主要考查直线方程的两点式、截距式，属于基础题4.【答案】B【解析】【分析】由已知利用正弦定理sinC=，利用大边对大角可求C为锐角，即可利用特殊角的三角函数值得解本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题【解答】解：在ABC中，BC=3，由正弦定理，可得：sinC=，ABBC，可得：AC，C为锐角，C=故选：B5.【答案】D【解析】解：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆a2+4a2-4（2a2+a-1）03a2+4a-40，（a+2）（3a-2）0，故选D根据圆的方程的一般式能够表示圆的充要条件，得到关于a的一元二次不等式，整理成最简单的形式，解一元二次不等式得到a的范围，得到结果本题考查二元二次方程表示圆的条件，考查一元二次不等式的解法，是一个比较简单的题目，这种题目可以单独作为一个选择或填空出现6.【答案】C【解析】【分析】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可【解答】解：如图，取AD的中点G，连接EG，GF，GEF为直线AD1与EF所成的角设棱长为2，则EG=，GF=1，EF=，易知是直角三角形，cosGEF=，故选：C7.【答案】C【解析】解：，20=-2a4a7，解得a4a7=-8，a1a10=a4a7=-8，故选：C由，可得20=-2a4a7，可得a1a10=a4a7本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.【答案】D【解析】解：如图，由椭圆+y2=1，得a=2，b=1，c=，则，即=12，由|+|=2，得，即，F1PF2=故选：D由题意方程求得焦距，利用平面向量的减法运算得到，与已知|+|=2同时两边平方后可得，由此可得答案本题考查了椭圆的简单性质，考查了平面向量的数量积运算，是中档题9.【答案】C【解析】【分析】由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求圆的半径本题主要考查了由题意求圆的标准方程，作为选择题可结合选项做题，这样可提高做题的速度【解答】解：由题意圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为（-1，1），半径为，过圆心（-1，1）与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心（-1，1）到直线x-y-4=0的距离为=3，则所求的圆的半径为，故选：C10.【答案】C【解析】解：由题意知，圆的方程化为：（x-1）2+（y-5）2=1；所以，圆心M（1，5），半径为1；如图所示，作点P（7，3）关于x轴的对称点P（7，-3）；连接MP，交圆与点Q，交x轴与点S，则|SP|+|SQ|的值最小；否则，在x轴上另取一点S，连接SP，SP，SQ，由于P与P关于x轴对称，所以|SP|=|SP，|SP|=|SP|；所以，|SP|+|SQ|=|SP|+|SQ|=|PQ|SP|+|SQ|=|SP|+|SQ|；（三角形中两边之和大于第三边）故|SP|+|SQ|的最小值为|PM|-1=-1=9；故选：C根据条件，转化为在x轴上找一点S，使得S到点P和点M距离之和最小问题，只需作P关于x轴的对称点P，连接PM，则PM与x轴交点即为点S|PM|-半径即为|SP|+|SQ|的最小值本题考查了点关于直线的对称问题，属于作图题，数形结合有利于解决问题，属于基础题11.【答案】B【解析】解：由题意，四面体A-BCD顶点在同一个球面上，BCD和ABC都是直角三角形，所以BC的中点就是球心，所以BC=，球的半径为：，所以球的表面积为：=3故选：B由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力12.【答案】D【解析】解：联立，解得yN=，联立，解得yM=可得yN-yM=a，化为：a=，可得e=，同理：把直线方程y=x，y=x-a与椭圆方程分别联立可得：a=3b即可得出离心率e=椭圆C的离心率的取值范围为，故选：D联立，解得yN，联立，解得yM利用yN-yM=a，化为：a=，利用e=即可得出同理：把直线方程y=x，y=x-a与椭圆方程分别联立可得：a=3b即可得出离心率本题考查了直线与椭圆相交问题、离心率计算公式、平行四边形的性质、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13.【答案】【解析】解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c=椭圆+=1的焦距长是：2故答案为：2利用椭圆方程，转化求解即可本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力14.【答案】-11【解析】解：圆C：x2+y2+8x-m+1=0化为标准方程是（x+4）2+y2=15+m；则圆心C（-4，0），半径为r=（其中m-15）；所以圆心C到直线的距离为d=，化简得=，解得m=-11故答案为：-11化圆C的方程为标准方程，利用圆心到直线的距离d与弦长和半径的关系列方程求出m的值本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了点到直线的距离应用问题，是中档题15.【答案】【解析】解：根据题意，ABC中，若a2=b2+c2-bc，则bc=b2+c2-a2，则cosA=，则sinA=，又由ABC的面积为，则有S=bcsinA=，bc=3，a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc2bc-bc=3，则a的最小值为；故答案为：根据题意，将a2=b2+c2-bc变形可得bc=b2+c2-a2，由余弦定理可得cosA=，计算可得sinA的值，由三角形面积公式可得S=bcsinA=，即bc=3，进而由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc，结合基本不等式分析可得a22bc-bc=bc，变形即可得答案本题考查余弦定理的应用，关键是求出cosA的值16.【答案】2101-102【解析】解：设Sn为数列an的前n项和，当n=1时，解得a1=1，当n2时，Sn-1=2an-1-1-得an=2an-2an-1，即（常数），所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列则（首项符合通项）故=2n-1，所以S1+S2+S100=（21+22+2100）-100=故答案为：2101-102首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用前n项和公式求出结果本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等比数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型17.【答案】解：（1）由l1l2可得：a+3（a-2）=0，4分解得；6分（2）当l1l2时，有，8分解得a=3，9分此时，l1，l2的方程分别为：3x+3y+1=0，x+y+3=0即3x+3y+9=0，故它们之间的距离为12分【解析】（1）由垂直可得a+3（a-2）=0，解之即可；（2）由平行可得a=3，进而可得直线方程，代入距离公式可得答案本题考查直线的一般式方程的平行和垂直关系，涉及平行线间的距离公式，属基础题18.【答案】解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，两个焦点与上顶点组成一个正三角形，且右焦点到右顶点的距离为1可得：故椭圆的方程为；（2）过点M（3，0）作斜率为的直线l，可得直线方程为：y=（x-3），联立4x2-6x-3=0，过点M（3，0）作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，所以，=【解析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b，得到椭圆方程（2）求出直线方程与椭圆联立，利用韦达定理，弦长公式转化求解即可本题考查椭圆的简单性质、椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及设而不求思想方法的应用，是中档题19.【答案】解：（1）由题，BDM=30，ACN=45，BCM=60，得CBD=30，所以BC=BD=100，所以=平方米（2）由题，ADC=75，ACD=45，BDA=45，在ACD中，即，所以，在BCD中，在ABD中，=，即船长为米【解析】（1）根据题意求得CBD，进而求得BC，BD，进而根据三角形面积公式求得答案（2）利用正弦定理求得AD，进而利用余弦定理分别求得BD，AB本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用解题的重要步骤就是建立数学模型20.【答案】（1）证明：取AD的中点N，连接MN，NF在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，MNAB，MN=，又EFAB，EF=，MNEF，且MN=EF四边形MNEF为平行四边形，则EMFN，又FN平面ADF，EM平面ADF，故EM平面ADF；（2）解：ABD=90，EB平面ABCD，EFAB，AB=2，EB=，EF=1，BC=，多面体ABCDEF的体积V=VF-ABD+VF-BED+VE-BDC=【解析】本题考查线面平行的判定，考查了空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题（1）取AD的中点N，连接MN，NF利用三角形中位线定理可得MNAB，MN=，又EFAB，EF=，可得四边形MNEF为平行四边形，则EMFN，再由线面平行的判定得EM平面ADF；（2）由多面体ABCDEF的体积V=VF-ABD+VF-BED+VE-BDC，结合已知及棱锥的体积公式求解21.【答案】解：（1）因为圆C的圆心在直线x-2y=0上，所以可设圆心为（2a，a）因为圆C与y轴的负半轴相切，所以a0，半径r=-2a，又因为该圆截学轴所得弦的弦长为 4，所以a2+（2）2=（-2a）2，解得a=-2，因此，圆心为（-4，-2），半径r=4所以圆C的标准方程为（x+4）2+（y+2）2=16（2）圆C的半径为3，设圆C的圆心为（2a，a），由题意，a0则圆C的方程为（x-2a）2+（y-a）2=9又因为|MN|=2|MO|，N（0，-3），设M（x，y）则=2，整理得x2+（y-1）2=4，它表示以（0，1）为圆心，2为半径的圆，记为圆D，由题意可知：点M既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有公共点所以|3-2|5，且a0所以，即，解得，解得a所以圆心C的纵坐标的取值范围时，【解析】（1）根据圆心在直线x-2y=0上，可设圆心（2a，a），再根据圆C与y轴负半轴相切得r=-2a，弦长为4列方程可解得a=-2，从而可得圆C的标准方程；（2）根据|MN|=2|MO|可得点M的轨迹为圆x2+（y-1）2=4，记为圆D，再根据圆C和圆D有公共点