重庆江北中学校高三数学文科综合测试一

重庆市江北中学校2006届高三数学文科综合测试一总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，请将正确答案填入答题卷）1设是两个非空集合，存在元素且，则下列结论中一定正确的是（ ） A B 2若角是直线的倾斜角，且，则 （ ） 3在等差数列中，则此数列的前13项之和等于 （ ） 13 26 39 52 4 若点在第一象限，且在直线上移动，则 （ ） 最大值为1 最小值为1 最大值为 既无最大值也无最小值5已知不共线向量， ，若A、B、C三点共线，实数等于（ ） 以上都不对6已知双曲线的右焦点为，以为圆心的圆：与直线相切，则双曲线的离心率为 （ ） 7函数的反函数为 （ ） 8有以下四个命题：若直线是异面直线，是异面直线，则是异面直线；若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行；若一个平面内有不共线三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线一定平行以上命题中真命题个数有 （ ） 0个 1个 2个 3个9用5种不同颜色为下列的广告牌着色（如图），要求在四个不同区域中相邻的区域不用同一种颜色，则不同的着色方法种数共有（ ）320 240 180 135 10已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） 11求 等于（ ） 12若函数在上是奇函数且可导，若恒成立，且常数，则下列不等式一定成立的是 （ ） 二、填空题（本大题共4小题，共16分）13函数的定义域为 。14在的二面角内放一个半径为5的球，使球与两个平面各有且仅有一个公共点，则这两个点之间的球面距离等于 。15已知点 满足条件：，则的最大值为_。16对于函数，给出下列四个命题：存在实数，使；存在实数恒成立；存在，使函数的图像关于轴对称；函数的图像关于点对称；其中正确命题的序号是_。三、解答题（本大题共6小题，共74分）17（本大题满分12分）已知，记函数。（）求函数的最小正周期及最值； （）当时，求函数的值域。18（本大题满分12分）投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分，经过多次试验，某生投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋。（）求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率。（）求该人两次投掷后得2分的概率。19.(本大题满分12分)设（都是整数）奇函数，且在上是单调递增。（）求的解析式； （）试判断函数在上的单调性，并证明。A1D1C1B1MNDABC20（本大题满分12分）已知正四棱柱中，分别为的中点，平面。（I）求证：平面；（II）求二面角的平面角的正切值。21(本大题满分12分)抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点，反射后又射向抛物线上的点，再反射后，又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回到点（如图所示）（I）设两点坐标分别为，证明：；（II）求此抛物线方程；NMPQo（III）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点关于所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由22（本大题满分14分）由原点O向三次曲线引切线，切于点P1（x1，y1）（O，P1两点不重合），再由P1引此曲线的切线，切于点P2（x2，y2）（P1，P2不重合）.如此继续下去，得到点列（1）求x1；（2）求满足的关系式；（3）若a0，试判断与a的大小关系并说明理由.参考答案一、 选择题（每题5分，共60分）题号123456789101112答案BDCABBDACDDA二、填空题（每题4分，共16分）13、（理科） 14、 15、15 16、（文）（理）三、解答题17、解：（）-2分 = -4分 = -6分所以 ，的最大值为，最小值为 -7分 （）当，即，有 -10分所以当，函数的值域为 -12分18、解：（）依题意知：是奇函数，可得-1分又因为都是整数，所以-3分故：-4分（），时，在上单调递增，在上单调递减-6分证明如下：设，则-8分因为，所以，故上单调递增；-10分同理可证上单调递减.-12分（理科可直接用导数证明）19、解：（）求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率。（）（文科）分别求该人两次投掷后得0分、1分、2分的概率。（理科）求该人两次投掷后得分的数学期望。解：（）、“飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记为事件A，B，C。则由题意知：-3分 因每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为； -6分（）、两次投掷得分的得分可取值为0，1，2，3，4则： - 7分 -9分 -12分； -理科10分 -12分A1D1C1B1MNDABC20、解：（理科）（1）如图连接，交，再连 又故为在面的射影，由三垂线定理 所以即为二面角的平面角-3分在矩形中，因，故 得 -6分（2）如图由（1）知 ，zABCDxyA1B1C1D1MN面 即面面，其中BP为交线故到面的距离即为到BP的距离在矩形中，设到BP的距离为-9分在中， -12分（文科）在正四棱柱中，所以，又因为平面，所以，故平面-4分（第二问参照理科标准给分）另解（1）如图建立坐标系，设故、 即向量与面垂直设与面BDN垂直，则即 设所求二面角为，则， （2）由在向量方向上的投影为所以到面的距离为21、解：（1）由抛物线的光学性质知光线PQ必过抛物线的焦点，当直线PQ的倾斜角不为时，设PQ的方程为： -2分代入方程：中，整理可得：，由根与系数的关系可得-3分当直线PQ的倾斜角为是，将代入抛物线方程，可得，同样满足-4分 （2）因为光线QN经直线反射后又射向M点，所以MN与QN关于直线反射对称，设点关于的对称点为则-6分直线QN的方程为，Q点纵坐标，因为点P纵坐标为，由（1）可知，即：，所以 -8分（3）将代入，可知P点坐标为；将代入直线可得，所以直线PN的方程为 ，设点关于的对称点为，则-10分将代入抛物线方程，原式成立，故存在一点满足题意。-12分2