第二章指数教材分析人教

第二章 指数教材分析http:/www.DearEDU.com1本节知识结构 本节是在学习过函数的有关概念（函数的定义、单调性与奇偶性、反函数）以后，为了学习具体的函数指数函数而做的必要的准备其内容包括根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算函数的定义函数的单调性函数的奇偶性反函数根式分数指数幂分数指数幂的运算性质指数的运算指数函数的图像和性质 2目的要求 理解分数指数a的概念，掌握有理指数幂的3个运算性质3教学任务分析 （1）本小节的重点是分数指数幂的概念和分数指数的运算性质，难点是根式的概念和分数指数幂的概念在教学目的要求不变的前提下，灵活应用教材中设置的例题与习题（2）为了学习分数指数幂，本小节首先引导学生回顾初中学习过的整数指数幂的概念，即正整数指数幂、零指数和负整数指数幂的意义在复习中，可以让学生回忆乘方的意义 a n（nN*）可以让学生判断“（ab）0的结果是什么？”如果有学生回答是“1”，通过纠正其错误，强调特别要注意“零的零次幂没有意义”这一结论，也渗透分类讨论的思想，即当ab时（ab）01，而当ab时，（ab）0没有意义同样，也让学生通过负整数指数幂的意义a指出：零的负整数次幂也没有意义事实上， a（p 为正整数），因为是分式，分母不能是零，所以，限定底数a0 （3）在引进负整数幂后，指数的运算性质可归纳成三条，即amanamn（m，nZ），（am）namn（m，nZ），（ab）nanbn（nZ）紧接着教材中说明了amanamn可归入性质（1），（）可以归入性质（3）教学中，建议让学生用数学语言叙述指数运算的这三条性质如amanamn表示同底的两个幂相乘，底数不变，指数相加，锻炼学生的数学表达能力条件好的班级，还可以向学生提出如下的问题：请举例说明什么样的函数f（x）满足条件 “对于任意的实数u，v有f（uv）f（u）f（v）”培养学生的抽象思维能力以及通过具体的事例理解抽象概念的能力在这里，对于底数，应有使等号两边都有意义的限定，即对于零指数幂或负整数指数幂，底数不等于零，指数可以是任意整数教学中还应该强调指数运算性质的使用范围，即都有“m，nZ”，当指数m，n的范围扩展到有理数范围后对底数a的限制条件也随之加强（3）根式的概念是教学的一个难点，教材中安排根式这部分内容，为讲分数指数幂做准备，所以本节教材只讲根式的概念、方根的性质教材先复习平方根、立方根的定义，然后给出n次方根的定义教学时，可以放慢速度，举几个具体数字的例子，如果2416，那么2是16的4次方根，如果35243，那么3是243的5次方根然后再给出n次方根的一般定义讲解方根的性质时，为突破难点，要抓住立方根与平方根的性质也就是要注意到，n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广特别要强调“当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数”与立方根的情况一样，奇次方根有下列性质：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数例如 27的 3次方根是 3，27的 3次方根是3；又例如 32的5次方根是2，1的 7次方根是1对于指数为奇数时的情况，学生一般不易犯错误 与平方根的情况一样，偶次方根有下列性质：在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义例如，36的平方根是6；16的4次方根有两个：2，2；16的4次方根没有意义 零的任何次方根都是零 教材根据n次方根的意义，得到两组常用的等式： 当n为任意正整数时（）a； 当n为奇数时，（）a； 当n为偶数时，a教学时，可以举几个具体数字的例子，说明它的含义和用途，例1就是这两组公式的具体运用相对而言，要注意多进行类似于例1中“化简、”的练习 （4）分数指数概念是教学上的又一个难点分数指数是指数概念的又一次推广，教材通过两个实例说明当n是大于1的整数，m是n的整数倍时，根式可以写成分数指数幂的形式，仿此定义a（a0） 教学中要让学生反复理解分数指数幂的意义，它不表示相同因式的乘积，而是根式的一种新的写法可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固、加深这一概念的理解由于学过负整数次幂，正分数指数幂的引入后，学生不难理解负分数次幂的意义，教学中，可以引导学生自己得出a（a0，m，n都是正整数，且n1）教材在定义分数指数幂后，补充规定：“零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义”这样指数的范围就扩充到了有理数（5）整数指数幂的运算性质，对于分数指数幂也同样适用为此教材写出如下运算性质： aaa（a0，r，sQ）， （a）a（a0，r，sQ）， （ab）ab （a0，b0，rQ）需要学生注意的是括号中限制条件的变化指数扩充到有理数范围后，分数指数幂a的意义以及指数的运算性质中的限制条件“a0”，还可以通过让学生指出下列变形中的错误，从反面来加以认识：2（8）（8）2（6）当 a 0，p为无理数，a是一个确定的实数，这是为了后面讲指数函数时要涉及到当 a0，x为实数时a的意义，所以在这里补充定义a的意义为使学生认识指数p为无理数时a的意义，可以根据实际情况，让学生用计算器计算当取一系列不足近似值与过剩近似值时3的大小，渗透极限思想实际生活中，工程计算中常常采用近似计算 （7）例2，例3都是属于巩固分数指数概念的题目，教学时不宜将例3这类题目扩充和加难，因为这里引进分数指数幂，不是为了进行根式的运算，只是为了熟悉和掌握分数指数幂，所以有关根式的性质的变形运算及繁琐的根式化简等均无必要多练 在讲解例4时，因为刚刚学完分数指数的定义和运算性质，学生还不太熟悉它，所以，教学时要严格按照例题的解题步骤进行例4（1）可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号例4（2）中按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，待熟练后可简化计算步骤 例5是利用分数指数幂来进行根式运算，其顺序是先把根式化