江西信丰中学高三数学三角法与向量法解平面几何题复习

第八讲 三角法与向量法解平面几何题相关知识：在中,R为外接圆半径, 为内切圆半径, ,则1,正弦定理: ,2,余弦定理: , , .3,射影定理: , , .4,面积: = = （海伦公式） .A类例题例1在ABC中，已知b=asinC ,c=asin(900-B)，试判断ABC的形状。例1解 由条件c = asin(900 - B) = acosB = . ABC是等腰直角三角形。例2（1）在ABC中，已知cosA = ，sinB = ，则cosC的值为（ ）A B C D 例2解 C = p -(A + B),cosC = -cos(A + B),又A(0, p),sinA = ,而sinB = 显然sinA sinB ,A B , A为锐角, B必为锐角, cosB = cosC = - cos(A + B) = sinAsinB - cosAcosB = .选A.说明 ABC中,sinA sinB A B . 根据这一充要条件可判定B必为锐角。（2）在RtABC中，C90，A，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，当为 时， 的值最小。解答由题意，R ，r （其中a、b、c为RtABC的三条边长，c为斜边长） sin（ ）1， 1当且仅当 时， 的最小值为 1。例3 在ABC中， ，求证：B、A、C成等差数列。例3证明 由条件得 sin（AB）sinC，sin（AB）sinCsinB，sinBsin（AB）sin（AB）2cosAsinBsinB0，cosA ，A60B、A、C成等差数列。例4 ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为 ，若 ，求角C的大小。例4解 由 =cosB，故B= ，AC= .由正弦定理有： ， 又sinA=sin( -C)= ，于是 sinC=cosC， tanC=1, C= 。情景再现1 ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B.2 ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且 （1）求 的值（2）设 ，求 的值3 已知A、B、C是ABC的三个内角，y=cotA+ .（1） 若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y的最小值.B类例题例5 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，ABC= ，设ABC的面积为S1，正方形的面积为S2（）用a， 表示S1和S2；（）当a固定， 变化时，求 取最小值时的角 。例5解（1） 设正方形边长为 ，则 （2）当 固定， 变化时， 令 ，用导数知识可以证明：函数 在 是减函数，于是当 时， 取最小值，此时 。例6如图，A、B是一矩 OEFG边界上不同的两点，且AOB=45,OE=1,EF= ，设AOE=.（1）写出AOB的面积关于的函数关系式f(); （2）写出函数f(x)的取值范围。例6解：（1）OE=1，EF= EOF=60当0，15时，AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tan,BE=tan(45+)f()=SAOB= tan(45+)tan= = 当a（15,45时，A点在EF上，B点在FG上，且OA= ，OB= =SAOB= OAOBsin45= sin45= 综上得：f()= （2）由（1）得：当0， 时f()= , 1且当=0时，f()min= ；