陕西蓝田高中数学第四章导数应用4.2.2最大值最小值问题教案北师大选修11

4.2.2 最大值最小值问题 教学目标1能够区分极值与最值两个不同的概念2会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)3.会利用导数解决某些实际问题. 教学重点1. 考查利用导数研究函数的极值、最值及单调性等问题2. 结合单调性与最值求参数范围、证明不等式内容是高考热点，难点。 学时难点1. 考查利用导数研究函数的极值、最值及单调性等问题2. 结合单调性与最值求参数范围、证明不等式内容是高考热点， 教学活动 活动1【讲授】导数的应用 知识梳理：（1）如果函数yf(x)在a，b上的图像是一条连续不断的曲线，那么f(x)在a，b上必有最大值和最小值函数的最值是函数在整个定义域上的性质.函数yf(x)在区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值_最大值或者_取得，或者_取得问题探究一函数的最值问题1如图，观察区间a，b上函数yf(x)的图像，它的极大值、极小值吗？问题2观察问题1的函数yf(x)，你能找出函数f(x)在区间a，b上的最大值、最小值吗？问题3函数的极值和最值有什么区别和联系？(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值问题4怎样求一个函数在闭区间上的最值？只要求出函数的各个极值和端点处的函数值，进行比较即可例1 (2014镇海中学模拟)已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；解题指导(1)已知：曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(2)分析：由曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行可知f(1)0即可求出k的值；由函数解析式，求导进而求出函数的单调区间构造函数证明不等式训练1求函数f(x)x33x26x2，x1,1的最值解f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23f(x)在1,1内恒大于0，f (x)在1,1上为增函数故x1时，f(x)最小值12；即f(x)的最小值为12，最大值为2.问题探究二含参数的最值问题问题1若函数f(x)已知最值，且函数关系式中含有参数，怎样根据函数最值确定参数？答案根据函数在哪一点处取得最值，采用待定系数法，利用导数列方程可以解出参数值问题的关键在于确定函数的极值或端点处的函数值以及它们的大小问题2含参数的函数，怎样求函数的最值？答案由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，因此解决这类问题往往需要分类讨论，参数分界标准是根据导函数为零时自变量的大小或通过函数值的大小等方面确定的例2若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值 .(1)求函数的解析式；(2)若关于x的方程f(x)k有三个零点，求实数k的取值范围解(1)由题意可知f(x)3ax2b.故所求的函数解析式为f(x)x34x4.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2，或x2因此，当x2时，f(x)有极大值，当x2时，f(x)有极小值，所以函数的大致图象如图所示，故实数k的取值范围是.小结含参数的函数，已知最值可考虑使用待定系数法确定参数；求含参数的最值要分类讨论，注意导数为0的点的大小及是否在函数定义域内训练2设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在(，)上存在单调递增区间，求a的取值范围(2)当0a0.由f(x)x2x2a(x)22a，f(x)在区间，)上单调递减，则只需f()0即可由f()2a0解得a，所以，当a时，f(x)在(，)上存在单调递增区间(2)令f(x)0，得两根x1 ，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，又f(4)f(1)6a0，即f(4)0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可对含参不等式恒成立，求参数范围问题，可先分离参数例3已知f(x)x3x22x5，当x1,2时，f(x)0，f(x)为增函数；当x(，1)时，f(x)0，f(x)为增函数当x时，f(x)取得极大值f()5 ；当x1时，f(x)取得极小值f(1) .又f(1)，f(2)7，f(x)在x1,2上的最大值为f(2)7.要使f(x)m恒成立，需f(x)max7.所求实数m的取值范围是(7，)小结“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可训练3设函数f(x)2x39x212x8c，若对任意的x0,3，都有f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0.当x1时，f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c9.c的取值范围为(，1)(9，).练习1函数f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值，最小值分别是 ()A1，1 B1，17C3，17 D9，192函数f(x)x2在0,4上的最大值为 ()A1 B0 C1 D43函数