重庆第一中学校高三数学月考文

重庆市第一中学校2019届高三3月月考数学（文）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合A中不等式解集的整数解，即可确定出两集合的交集【详解】Ax|（x+1）（x-2）0x|1x2且集合B的元素是整数，则1x2的整数解为：0，1AB0，1故选：A【点睛】本题考查了交集及其运算，以及不等式解集的整数解，是基本题型2.已知复数满足，则复数的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把给出的等式两边同时乘以i，然后利用复数的乘法运算化简，取虚部为相反数得到z的共轭复数【详解】由，得复数z的共轭复数为故选：D【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题3.，则“”是 “”的（ ）条件A. 充分必要B. 充分而不必要C. 必要而不充分D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】由，解得x=6或x=1，可得“”“x=6或x=1”，而反之不成立【详解】，可化为（x+1）（x6）=0，解得x=6或x=1“”“x=6或x=1”，而反之不成立“”是 “”的充分不必要的条件故选：B【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，涉及一元二次方程的解法，考查了推理能力，属于基础题4.设等比数列的前项和为，且，则公比（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的通项公式和性质，化简即可求解数列的公比，得到答案。【详解】由题意，根据等比数列的性质，可得的，故选D。【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n项和的应用，其中熟记等比数列的通项公式和前n项和，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力.5.中国好歌曲的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的值及其统计意义分别是( )A. ，即5个数据的方差为2B. ，即5个数据的标准差为2C. ，即5个数据的方差为10D. ，即5个数据的标准差为10【答案】A【解析】【分析】算法的功能是求的值，根据条件确定跳出循环的值，计算输出的值【详解】由程序框图知：算法的功能是求的值，跳出循环的值为5，输出 .故选：A.【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题6.在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意得圆的圆心为，半径为.要使直线与圆相交，则圆心到直线的距离，解得.由几何概型的概率公式，得在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为.故选A.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.7.已知双曲线的一个顶点到其渐近线的距离等于，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】求出双曲线 的渐近线方程，从而可得顶点到渐近线的距离，进而可得c，b的关系，从而可求双曲线的离心率【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为yx即bxay=0，顶点到渐近线的距离为 双曲线（a，b0）的顶点到渐近线的距离等于=c=2b，故选B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式的运用，考查双曲线的几何性质，属于中档题8.若实数满足，则的最小值为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求即可【详解】由zx2y得yx，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）:平移直线yx，由图象可知当直线yx，过点B（0，1）时，直线yx的截距最大，此时z最小，代入目标函数zx2y，得z2，目标函数zx2y的最小值是：故选：B【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法9.已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先利用几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果【详解】根据几何体的三视图，转换为几何体：相当于把棱长为1的正方体切去一个以1为半径的个圆柱故：V故选：C【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型10.若曲线在处的切线，也是的切线，则（ ）A. B. 1C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】求yex的导数，求切线斜率，可得切线方程，再设与曲线ylnx+b相切的切点为（m，n），求函数ylnx+b的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m，n，进而得到b的值【详解】yex的导数为yex，曲线yex在x0处的切线斜率为k1，则曲线yex在x0处的切线方程为y1x，ylnx+b的导数为y，设切点为（m，n），则1，解得m1，n2，即有2ln1+b，解得b2故选：C【点睛】本题考查导数的几何意义，考查求切线方程，设出切点和正确求出导数是解题的关键11.已知三点都在表面积为的球的表面上，若.则球心到平面的距离等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合正弦定理，计算A,B,C所在圆的半径，结合勾股定理，计算结果，即可。【详解】结合题意，绘制图形，则根据正弦定理可知，结合球表面积计算公式，可知，结合球的性质可知，构成直角三角形，结合勾股定理可知，故选B。【点睛】本道题考查了正弦定理，考查了球的表面积计算公式，难度中等。12.已知函数在上单调，且函数的图象关于直线对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前100项的和为（ ）A. 300B. 100C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数yf（x2）的图象关于x1轴对称，平移可得yf（x）的图象关于x1对称，由题意可得a50+a512，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和【详解】函数f（x）在（1，+）上单调，且函数yf（x2）的图象关于x1对称，可得yf（x）的图象关于x1对称，由数列an是公差不为0的等差数列，且f（a50）f（a51），可得a50+a512，又an是等差数列，所以a1+a100a50+a512，则an的前100项的和为100故选：D【点睛】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量与向量共线，则实数_.【答案】【解析】【分析】利用向量共线的充要条件列出方程，解方程求出的值【详解】12故答案为：【点睛】解决有关向量共线的问题，应该利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘相等14.若，则_.【答案】【解析】【分析】由，求出cos（），由此利用诱导公式能求出的值【详解】，cos（）12sin2（），又由诱导公式得cos（），故答案为：【点睛】本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二倍角公式和诱导公式的合理运用15.设抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，若，则直线的倾斜角为_【答案】或. 【解析】【分析】先设出A的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y然后求解直线的斜率，得到直线FA的倾斜角【详解】设该坐标为，抛物线：的焦点为，根据抛物线定义可知，解得，代入抛物线方程求得，故坐标为：，的斜率为：，则直线的倾斜角为：或.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决16.设是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为_.【答案】【解析】【分析】构造函数g（x）exf（x）ex，通过求导及已知不等式可得出g（x）为递增函数，再将原不等式化为g（x）g（0）可解得【详解】令g（x）exf（x）ex，则g（x）exf（x）+exf（x）exex（f（x）+f（x）1），f（x）+f（x）1，f（x）+f（x）10，g（x）0，g（x）在R上为单调递减函数，g（0）f（0）1201812017原不等式可化为g（x）g（0），根据g（x）的单调性得x0, 不等式（其中为自然对数的底数）的解集为,故答案为【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及单调性的应用，关键是构造函数，考查了分析问题的能力，属于难题三、解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）中，角的对边为，若，求边的长.【答案】（1），；（2）7.【解析】【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，直接由三角函数的性质求f（x）的单调递增区间（2）由已知可求，得到A的值，由条件解得sinB，结合两角和的正弦公式可求sinC的值，再根据正弦定理求a即可【详解】（1）令，则，故单增区间为，（2）由（1）知，故又，在中，由正弦定理，得，.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用及三角函数的单调性问题，考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题18.党的十九大报告中多次出现的“绿色”“低碳”“节约”等词语，正在走入百姓生活，绿色出行的理念已深入人心，骑自行车或步行渐渐成为市民的一种出行习惯.某市环保机构随机抽查统计了该市1800名成年市民某月骑车次数在各区间的人数，统计如下表： 次数年龄0，10）10，20）20，30）30，40）40，50）50，60）18岁至31岁812206014015032岁至44岁1228201406015045岁至59岁25508010022545060岁及以上2510101942联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老人.（1）若从被抽查的该月骑车次数在的老年人中随机选出两名幸运者给予奖励，求其中一名幸运者该月骑车次数在之间，另一名幸运者该月骑车次数在之间的概率；（2）若月骑车次数不少于30次者被称为“骑行爱好者”，将上面提供的数据进行统计后，把答卷中的列联表补充完整，并计算说明能否在犯错误不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？参考数据：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828，其中【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）将6位老人分别记为a，b，c，d和A，B，利用列举法能求出其中一名幸运者该月骑车次数在40，50）之间，另一名幸运者该月骑车次数在50，60）之间的概率（2）根据题意，得出如下22列联表，求出K21810.828，由此能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关【详解】（1）将6位老人分别记为和，则所有的抽法有：，共15种，其中满足条件的抽法有：，共8种，故其中一名幸运者该月骑车次数在之间，另一名幸运者该月骑车次数在之间的概率为.（2）根据题意，得出如下列联表骑行爱好者非骑行爱好者总计青年人700100800非青年人8002001000总故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关.【点睛】本题考查概率的求法，考查独立性检验的应用，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，分别是线段，的中点，（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由题意，可将问题转化为线线平行问题，结合图形，取的中点，连接，易证，再根据线面平行的判定定理，从而问题可得解；（2）由题意，可利用等体积法进行运算，即由，从而问题可得解.试题解析：（1）取中点，连接，分别是，中点，为中点，为矩形，四边形为平行四边形，平面，平面，平面（2）平面，到平面的距离等于到平面的距离，平面，在中，平面，平面， ，则，为直角三角形，设到平面的距离为，又，平面则到平面的距离为点睛：此题主要考查了立体几何中线面平行的判定，以及计算点到平面的距离等知识点，还等体积（面积）法在求距离问题中的应用，属于中档题型，也是常考考点.等体积法一般是针对同一几何体用不同的体积计算方法，来建立所求距离的方法，从而使问题得解.20.设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且恰是的中点，若过三点的圆恰好与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）从已知条件中寻找三者之间的关系，过三点在同一圆上，又，可以得到圆心为，从而得到，再由直线与圆相切可得，最后再利用求出即可；（2）以为邻边的平行四边形是菱形，可得菱形的对角线互相垂直，为的中点，则，联立直线方程和椭圆方程，消元后，利用韦达定理表示出的坐标，进而利用条件可求出的值.试题解析：解：（1）设椭圆的半焦距为，由为线段中点，所以三点圆的圆心为，半径为，又因为该圆与直线相切，所以.所以，故所求椭圆方程为；（2）将直线代入得.设，则.，的中点，由于菱形对角线互相垂直，则.，解得.即存在满足题意的点，且m的值为.考点：椭圆方程，直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，令函数（其中是自然对数的底数），求的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）0.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）对g（x）求导后可分解因式，构造函数，利用零点存在定理可以说明的正负情况，进而得到g（x）的单调性及极值点，结合整体代入法求得即可.【详解】（1）， 当时，恒成立，此时在上单增；当时，令得，令得，故在上单增，在上单减综上，当时，在上单增；当时，在上单增，在上单减.（2）当时，则，令，显然在上单增，且 ，故，使得，即，当时，则，单减；当时，则，单增；故【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查