陕西数学文理科全解全析

2008年陕西高考数学文理科试题全解全析 2008年陕西高考数学试题， 突出了知识的基础性和综合性，以主干知识为主体，注意在知识网络交汇点设计试题着力体现概念性、思辨性和应用的广泛性，在数学思想、理性思维以及数学潜能方面作了比较深入的考查试题总体难度与近三年基本相当，除了个别试题较难外，大部分试题平和稳定，似曾相识，但同时又稳中有变，推陈出新既体现了“平安高考、以生为本”的人文关怀，又符合高考选拔功能的要求 1 依纲靠本，控制难度高考试题的命制要依据“两纲”，依托现行教材2008年陕西高考数学试题的命制，很好地遵循了“两纲”，关注了课本如 理科 1，2，3，4，5，6，7， 8，9，10，13，17 ，19等都可以在课本中找到其原型这类原于课本，高于课本的试题约占试题总量的50%，它既有力地发挥了课本中例题、练习题、习题、复习参考题的教学功能，又有效地控制了试题的总体难度 2注重双基，突出重点考试说明中要求“对基础知识的考查，既全面又突出重点”2008年陕西高考数学试题，对高中各章知识的考查较为全面，在此基础上，一方面突出了重点知识重点考查的要求，另一方面，突出了对蕴涵在数学知识本身的数学思想的考查 文理11题的抽象函数如何求值的问题，不同的求解思维方法反应了不同数学思想的具体应用。对于法则特殊化处理，化归等差型数列求通项解决，这是特殊化思想和等价转化思想的具体体现，这是抽象函数求解的法宝，凸现数列和函数之间的依赖关系，给我们后继复习很多启示；对对应法则合理的反复赋值求解，这是特殊化思想的具体应用，也是求解抽象函数必需想到的思维方法，其中如何赋值？ 赋那几个值？这是由题设对应法则的认识和目标意识决定的，简单优化的赋值过程凸现演绎推理和方程思想的应用，来源于平时学习的积累和体验。 3 注意交汇，考查能力在知识网络交汇点处命制试题，是近年来数学试题的一个突出特点，2008年陕西卷高考数学试题，在这方面有着较好的体现以理科为例，第（6）题体现了充要条件与不等式的交汇，第（9）题体现了立体几何与三角知识的交汇，第（14）题体现了空间图形与平面图形的交汇，第（18）题体现了两个计数原理与概率统计的交汇；第19题凸现不规则体为载体下的特殊线面垂直的转化和三垂线法作平面角的思维方法，其中利用空间概念化归平几算证垂直式求解的关键，网络了平几知识的考查，凸现空间问题平面化的特点。第20题 以直线和抛物线相交为载体，考查解析几何的“设而不求，整体思维”的特点，切线与直线的平行可产生两种不同的方法，利用导数的几何意义可简化运算途径，也给导数的应用开辟了新的应用天地；第二问的向量垂直条件下的参数求解，关键是如何利用直角三角形中线的性质和方程导致了两种不同的构建参数的方程的解法，凸现平面几何结论在解析几何中简化运算的功能，反映了解析几何的“形助数和数研究”的本质属性； 第（21）题体现了函数与导数的交汇，第（22）题体现了数列与不等式及导数的交汇这些试题，既有纵向发展，又有横向联系，具有较强的综合性，充分展现了考查考生数学能力的力度 4 适度创新，考查潜能 考试说明明确指出，“考试的指导思想是：有助于培养学生的创新精神”事实上，创新精神是当代中华民族自强不息、勇于进取的精神，创新意识是理性思维的高层次表现高考数学创新问题，对于考查考生面对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题，有着十分重要的作用2008年陕西卷高考数学试题，有着浓郁的创新味文理科第（9）题，设计非常新颖，除了考查空间想象能力外，还着意考查了直觉思维和构图的能力，以面面垂直的性质定理切入，考查斜线在面上的射影及线面角，构造直角三角形转化比大小，使空间问题与三角知识有机的结合。理科第（12）题新背景下的信息转换问题，信息量大，需要考生耐着性子，认真阅读理解对应关系，在对应关系下求出原象，再依据对应关系判断原象的象的错误，稍不留意常常出错； （14）题长方体中探究点的球面距离之比，尽管背景学生不陌生，但需构造两次三角形求两次球心交，这在以前的训练中很少涉及过，它对空间想象力和球面距离及解三角形等能力的要求较高；（19）题 ，新定义的非规则载体下的垂直关系和二面角的探讨 ，凸现空间问题平面化， 以背景陌生的三棱台出现，逐步与新教材接轨，为现行版课程的高考怎样逐步向课标版课程的高考过渡敲响了警钟； 21题分式类函数的极值和范围问题，这在人们的预料之中，但以一个极值已知，构造判别式待定另一个极值，逆向思维很有新意， 不等式恒成立确定参数范围，借助导数研究单调性化归，具有操作性；22题数列不等式证明中用通项放缩证明数列不等式以及用导数研究单调性证明不等式等都是比较优秀的创新型试题值得指出的是，这些题尽管新颖，但难度不很大，很容易切入，体现了“新题不难”的命题要求 2008年陕西高考数学文理科试题解析 1（ 理科） 复数 等于 A B C 1 D D；，选D；点评 分母实数化和复数代数运算 。易错指导 分母实数化过程中运算出错； （文科） 的值为 A B C D B ；诱导公式的应用和特殊值，选B；2（理科） 已知全集，集合，则集合中元素的个数为（ ）A1B2C3D4B；解析 集合之间的关系和运算，化简，于是其补集元素个数为2个，选B；点评 集合之间的关系和运算，基本题。易错指导 不注意集合B的意义致错；（文科）已知全集，集合，则集合A B C D D；解析 求交集 ， 选D；点评 集合之间的关系和运算，基本题。易错指导 不注意交集和补集的意义致错；3（理科） 的内角的对边分别为，若，则等于（ ）AB2CD理科 D；解析 ，选D；点评 三角形中的三角变换依据正与弦定理，本题正弦定理的两次使用解斜三角形边；易错点指导 ：目标意识较弱，加大了运算量，不注意隐含条件导致两解。 （文科）某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）A30B25 C20D15C；解析 分层抽样就是按比例抽样，则有 ，选C；点评 认识分层抽样就是按比例抽样，合理进行计算；易错指导 没理解粪臭抽样的意义，导致思维中断错选； 4 已知是等差数列，则该数列的前10项和等于 (A) 64 (B) 100 (C) 110 (D) 120答案: B；解析: 法一：设公差为，则由已知得 而，故选B 法二：由已知得 即，则 ，。点评 等差数列求和时，基本思路有两个：（1）列方程组求首项与公差；（2） 利用等差数列的性质，整体计算。易错指导 本题易错处在于利用性质时，对应于而不是， 以及。5直线与圆相切，则实数等于（ ）A或B或C或D或D；解析 ，选D； 点评 直线和圆的位置关系，借助平几解析法求解；易错指导 直线和圆相切条件不会利用点到直线的距离公式法翻译，或运算出错； 6 “”是“对任意的正数，”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A；解析 若，则选A；点评 不等式和充要条件结合的判断，注意到均值不等式的条件；易错指导 充要条件的判断不坚持双向推理的原则，导致出错，或缺少用子集的关系认识充要条件使问题复杂出错；7 已知函数是的反函数，若，则的值为 (A) (B) 1 (C) 4 (D) 10答案：A；解析：法一 由已知可得，则 ，选A； 法二 设，则由互反函数的关系可知 ，于是得。点评 两种不同的求解方法反映出对反函数概念的理解和认识，都应当熟练掌握；易错指导：由于弄错符号，易错选C。 8 （理科）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCDB； 解析 圆锥曲几何量之间的关系，借助直角三角形和半通径沟通，易知注意到倾斜角；点评 几何量之间的关系借助倾斜角和通经沟通，化归特殊三角形构建方程求解，设计巧妙，耐人回味。易错指导 缺少形助数和数研究形的意识，导致繁杂的运算出错；（文科 ）长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中,则两点的球面距离为( )ABCD C；解析 正方体的外接球中的球面距离问题，特殊化注意球心为长方体的中心，可求得体对角线球心O和A，B构成的三角形为等腰三角形且，注意到球半径为1的特点，选C；点评 正方体中的球面距离关键是化归球心角的问题，借助解三角形求解；易错指导 不会将球面距离进行转化，解三角形不注意特殊性使问题复杂化；9 （理科）如图, ,到的距离分别是和，和和所成的角分别为和，在和内的射影分别为。若，则(A) (B) (C) (D) 答案：DabAB解析1：设A，B在上的射影分别为，则由已知可得 ，则易的 ，故选DBCD解析2 面面垂直的性质定理切入，斜线在面上的射影及线面角，构造直角三角形转化比大小，使空间问题与三角知识有机的结合，如图所示，用这两个角的余弦值，综上选D； 点评 设计非常新颖，除了考查空间想象能力外，还着意考查了直觉思维和构图的能力，以面面垂直的性质定理切入，考查斜线在面上的射影及线面角，构造直角三角形转化比大小，使空间问题与三角知识有机的结合。易错指导 确少空间概念的操作性，不会构造直角三角形比大小；（文科）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）ABCDB； 解析 圆锥曲几何量之间的关系，借助直角三角形和半通径沟通，易知注意到倾斜角；点评 几何量之间的关系借助倾斜角和通经沟通，化归特殊三角形构建方程求解，设计巧妙，耐人回味。易错指导 缺少形助数和数研究形的意识，导致繁杂的运算出错；10已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（ ）A7B5C4D3B；解析，考虑特殊的交点再验证，由题设可能在 ，运动变化的观念验证满足，则选B；点评 线性规划问题作出可行域，首先考虑交点，注意本题已知最优解待定参数的特点解交点在上寻求到了简洁的途径。易错指导 缺少特殊化思想的具体应用，解交点后缺乏运动变化的观念，导致思维中断； 11 定义在上的函数满足， 则等于 (A) (B) 3 (C) 6 (D) 9答案: C；解析: 法一 令，则得即，于是可得，则，选C。 法二 由已知可得，可猜，以下同上。法三 抽象函数问题，对对应法则合理使用，反复赋值求解， ，点评 抽象函数如何求值的问题，不同的求解思维方法反应了不同数学思想的具体应用。对于法则特殊化处理，化归等差型数列求通项解决，这是特殊化思想和等价转化思想的具体体现，这是抽象函数求解的法宝，凸现数列和函数之间的依赖关系，给我们后继复习很多启示；对对应法则合理的反复赋值求解，这是特殊化思想的具体应用，也是求解抽象函数必需想到的思维方法， 易错指导：不能充分利用函数所满足的条件进行探索，不能从特殊现象中发现一般规律。12 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按照一定规则加入相关数据组成传递信息。设定原信息为，传输信息为，其中，运算规则为：，例如原信息为111，则传输信息为01111。传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受错误信息，则下列接受信息一定有误的是(A) 11010 (B) 01100 (C) 10111 (D) 00011答案： C解析： 由题设规则，若原信息为011，则接收信应为10110，故可知C为错误接受信息；其他均可验证为正确。点评 新背景下的信息转换问题，信息量大，需要考生耐着性子，认真阅读理解对应关系，在对应关系下求出原象，再依据对应关系判断原象的象的错误，稍不留意常常出错；易错指导： 不能理解题意，不能从传输信息中提取原信息，按照规则来检验接受信息。13 （理科） ，则 1；解析 分式类极限的逆向思维问题，注意到同次的分式极限值为最高项系数比，则有 ；点评 分式类函数的极限值常常是不存在，0，最高项的系数比，要注意结论的逆向思维问题；易错指导 没有分式类极限值的经验积累导致问题复杂化；（文科） 的内角的对边分别为，若，则等于 14 （理科） 长方体的各顶点都在球的球面上，其中两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为 ；正方体的外接球中的球面距离问题，特殊化注意球心为长方体的中心，可求得体对角线 球心O和A，B构成的三角形为等腰三角形且，球心O和A， 构成的三角形为等腰三角形且，点评 长方体中探究点的球面距离之比，尽管背景学生不陌生，但需构造两次三角形求两次球心交，这在以前的训练中很少涉及过，它对空间想象力和球面距离及解三角形等能力的要求较高；易错指导 不会将球面距离进行转化，解三角形不注意特殊性使问题复杂化；（文科）的展开式中的系数为 84；解析 通项公式写指定项； 点评 利用展开式的通项公式写指定项，基本题；易错指导 忽略系数铸错；15关于平面向量有下列三个命题： 若，则 若，则非零向量和满足，则与的夹角为其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）（）；解析 向量有观念概念和运算的判断，逐一进行验证，对于（1）向量不满足消去律错；对于（2） 两向量平行的坐标表示知正确；对（3）在加减法构成的平行四边形中，由几何意义可得到所求角为，错；则正确的命题为（）；点评 向量有观念概念和运算的判断，逐一进行验证，涉及到学生易出错的消去律 、加减法构成的平行四边形以及平行的垂直的充要条件的应用。易错指导 判断不彻底，不成立 找不到反例易选3个都正确； 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种（用数字作答） ；解析 排列组合应用问题，弄清题意从特殊位置入手分类和分步完成，从最后一棒分类，甲为最后一棒，再考虑第一棒，再其余位置，依次有，乙为最后一棒，再考虑第一棒，再其余位置，依次有，则有；点评 排列组合应用问题 注意优先原本则下的特殊问题的处理方法的积累；易错指导 不注意特殊位置，没有确定分类标准，导致重复和遗漏；17 （本小题满分12分）已知函数（）求函数的最小正周期及最值；（）令，判断函数的奇偶性，并说明理由。解析：（） 的最小正周期 当时，取得最小值；当时， 取得最大值（）由（）知，则，为偶函数。 点评：本体考查三角变换的基本知识和方法，易错指导 第二问中求解析式出错或奇偶性判断出错； 18 （理科 本小题满分12分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击；第次击中目标得分；3次均未击中目标得0分。已知某射手每次击中目标得概率为，且各次射击结果互不影响。 （）求该射手恰好射击两次的概率；（）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望 。解析：（）记该射手第次击中目标的事件为，则，即为所求；（）的可能取值为，的分布列为01230008003201608 点评：考查相互独立事件、互斥事件的概率计算，及其分布列和数学期望。易错指导 第一问集合分布模型认识不到位，第二问变量取值或概率及期望算错；（文科 12分）（本小题满分12分）一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.（）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；（）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率解析 （1）从袋中依次摸出2个红球共有种结果，第一次摸出黑球，第二次摸出白球的结果有，则所求概率为 ，或；（2）第一次摸出红球的概率，第二次摸出红球的概率，第三次摸出红球的概率，则摸球次数不超过3的概率为+ + ；点评 几何分布的模型，注意互斥事件的概率计算；易错指导 摸球认不清不放回的特征，误用独立重复试验模型求解；ABCA1B1C1D19 （本小题满分12分）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，（）证明：平面平面；（）求二面角的大小。解析：法一（）平面，平面， 又在中，由已知得，而， 由余弦定理可得 ， 又平面，而平面， 故平面平面。（）由已知可得平面，则过作于， 于是由三垂线定理知，ABCA1B1C1Dxyz 则为二面角的平面角。 过作于，则由可得，于是在中， 即二面角的大小为；法二（） 如图建立空间直角坐标系， 则 ,则点的坐标为，又平面，而平面， 故平面平面。 （）平面，取为平面的法向量， 设平面的法向量为，则 ，可取， 则，则易得， 则知二面角的大小为。点评：虽然以棱台的载体出现，但考察的仍然是重点的垂直关系和二面角和常规方法，其中利用平面几何方法证明垂直关系，值得重视。易错指导 传统的方法不会合理的向平面转化，向量的方法不会选择基地或计算出错；20 （理科，本小题满分12分）已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线，交于点。 （）证明: 抛物线在点处的切线与直线平行；xyoABNM（）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 解析：（）由已知可设， 把带入到，得，由韦达定理得，则可得点坐标为，则抛物线在点处的切线的斜率为，。（）若存在实数，使得，则，又是线段的中点，由（）知又轴，而，即存在，。点评：充分利用坐标关系简化计算，其中平面图形几何性质在寻求等量关系和简化计算中起了重要的作用。易错指导 缺少利用平面几何知识简化运算的意识，运算出错；（文科 本小题满分12分）已知数列的首项，（）证明：数列是等比数列；（）数列的前项和解：（） ， ， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列（）由（）知，即，设， 则，由得 ，又数列的前项和 点评 目标意识化归定义法证明等比数列，方程观念求通项，错位相减法求和。易错指导 缺少整体思维，不会部分错位相减法求和 。21 （理科本小题满分12分）已知函数（且，）恰有一个极大