集合与不等式的学法指导人教

集合与不等式的学法指导河南汤阴一中 杨焕庆一，内容概述集合是近代数学中最基本的概念之一,集合语言是现代数学的基本语言，用集合的语言来阐述问题,简洁,深刻. 善于用集合的观点看待数学问题,用集合语言传情达意,是处理和解决数学问题的高层次的体现.现实世界的数量关系中，相等是特殊的、相对的，不等却是普遍的、绝对的。因此不等式的内容能够渗透和贯穿中学数学的各个章节。可以毫不夸张地说，学好了不等式就等于学好了中学数学的大半。尤其三个“二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）是中学数学的重要内容，这其中有丰富的内涵和密切的联系。同时它们也是研究后继各章节的重要工具。高考试题中近一半与这三个“二次”问题有关。二重点知识梳理集合中最基本最重要的是子集，交集、并集、补集的意义。正确熟练地使用各种符号，是必需掌握的基本技能。3深刻理解集合的概念,善于把握集合的语言-“文字语言”符号语言”图形语言 ”的转换.是学好集合乃至以后各章节的关键所在。4空集是一个特殊而又十分重要的集合，解题中它肩负着特殊的使命。由于它藏而不露，所以也是个极易被遗忘的角落，忽视空集的特殊性往往会导致错解。5.掌握集合的三种特性:确定性,互异性,无序性,是对集合概念深化的表现.6.要熟悉元素与集合、集合与集合的关系，正确使用各种符号.学习集合必须抓住“元素”这个关键。集合是由元素确定的，子集、交集、并集、补集、空集等也都是通过元素来定义的，集合的性质说的就是元素的特性，集合的分类与表示法等亦都是通过元素来刻划的，遇到集合的问题，首先要弄清“元素是什么”。7求补集时，要随时考虑全集是什么，因全集是一个相对概念，同一集合在不同全集中的补集是不同的，并非在任何情况下全集都是实数集。8含绝对值的不等式和一元二次不等式是简单不等式，可以直接求解，求解时要善于用集合的观点去把握。既可以把原不等式转化为与之等价的不等式（组）来解，也可以借助“数形结合”的思想来处理。要知道不等式解集的“端点”是与之相关联的方程的根这一规律。9含参数的不等式往往需要分类讨论，分类的标准（不重不漏）要始终如一。一般来说先按常规方法解题，谁阻碍了我们“前进的步伐”就对谁讨论，何时思维受阻就何时讨论。三思想方法（一）数学思想(1)“数形结合”思想.把数量关系的精确刻划与几何图形的直观形象有机地结合起来,从而充分暴露问题的条件和结论之间的内在联系.以达到化繁为简,化难为易的目的.“尺有所短，寸有所长”，著名数学家华罗庚有诗云：“数缺形少直观，形缺数难入微”。把抽象的“数”与直观的“形”结合起来，以期达到一种完美的境界，这就是“数形结合”的本质特性。数学中两个重要的集合“数集”和“点集”是我们研究的主体。自觉运用韦恩图、数轴、简单函数的图象能帮助我们分析和理解抽象的集合语言，提高形象思维能力。例1.设全集，集合，,那么等于: 分析:该题各集合中的元素显然都是“点”，我们有理由用“数形结合”的思想解之。解：易知集合是直线上除去点构成的集合，集合是直线外的一切点构成的集合, 所以集合是整个平面除去点构成的.从而=故选.评注：本题首先要清楚各集合中的元素是什么？是函数的自变量，还是因变量，还是曲线上的点。值得一提的是这里是元素，不是集合,容易误选.集合运算的结果是集合，而不是元素。 (2)补集的思想 补集思想是一种间接思考问题的方法。即：已知全集为，若直接求其子集困难，可先求出，再利用（）从而间接求出集合。这种正向思维受阻后而改用逆向思维的思想，就是补集思想。它是通过两次否定实现一次肯定的方法。例2：已知抛物线，中至少有一条与轴相交,求实数取值的集合.分析：首先应抓住两点:“相交”即”两个公共点”. “至少有一条与轴相交”是指与轴只有一条相交；只有两条相交；三条都相交。共三大类7种情形。显然正面解决是十分复杂和困难的，而其反面（补集）只有一种:三条都不与轴相交.因此有下列解法。解：设是全集，若三条抛物线与轴均不相交，则有解得：，故即为所求。评注：正面进攻很难取胜，应该攻其反面。这种“正难则反”的思想，体现了灵活机智的解题策略。(3)分类讨论的思想有些问题的结果不是唯一的，它被题中参数的变化范围制约着，只有对参数加以划分类和逐一讨论，问题才能解决得完整和完美。用集合的观点看，一个问题划分为若干个子问题，而这些子问题（子集）的并集是全集，交集是空集。因此分类讨论的原则是“不重不漏”。例3解关于的不等式：.分析:显然不等式可转化为二次不等式:,其解集应该界于两根之间.判断根的大小是关键,讨论在所难免.解:原不等式可化为:,讨论如下:(i)当即或时,解集是.(ii)当即时, 解集是.(iii)当即或时,不等式的解集是空集.评注:本题是按两根的“大、小、等”三种情况展开讨论，因为不等式的解集是由根的大小决定的。分类讨论作为一种非常重要的数学思想,它会逐渐渗透到以后的各章节中，也是培养思维的严谨性和全面分析和解决问题能力的极好素材。 (4)化归与转化的思想解决数学问题常常需要把问题进行转化,化复杂为简单,化陌生为熟悉,化抽象为具体等,其目的就是尽快确定解题方向.这就是数学上所指的转化(或化归)思想.善于转化彰显思维的灵活性和广阔性,也体现了解题的计划性和策略性.如：例1用的是“数形转化”，例2则是“正反转化”。例3是将分式不等式转化为我们熟知的二次不等式来解。事实上我们解决任何一个数学问题，都是在进行转化。（二）学科方法：换元法解题时,把一些结构相同的含未知数的式子用新的变量替换,以简化推理和运算，该法称为换元法。例4解不等式.分析:显然可设:不等式就是关于 的二次不等式.解. 设:则,于是得:解得:又,所以既,所以解集是评注：换元法实质上是一种 “整体思想”。是站在整体的高度把握所研究式子的结构特征，以便简化推理和运算。观察法:观察法是一种“由表及里”的思考方法，也即能透过“现象”看到问题的“本质”的研究方法，它充分体现了思维的敏捷性。例5.解不等式分析：将整体看待，由绝对值的意义和不等式本身特点，容易得到。解：原不等式可化为：，它等价于于是解集是评注：学会观察，善于观察是很重要的科学研究方法。有些不等式表面上复杂，若对式子的结构细心入微的分析，易将其转化为我们熟知的问题来解。解不等式方法灵活富于变化，格外讲究技巧，在以后的学习中还会接触更多的方法，要注意总结和把握。四几个值得注意的问题有限集子集的个数问题：一般地，则集合的所有有个。集合中元素的个数问题：利用集合补集的性质(反演律);可简化计算 . 总之“集合与简易逻辑”是高中数学的起始章节，也是整个中学数学的基础。其基础性体现在两个方面：首先集合的思想和语言以及集合的符号在高中数学的很多章节（函数、数列、不等式、立体几何、解析几何以及概率）中被广泛使用；其次，数学离不开变换和推理，而变换与推理又离不开四种命题、充要条件、逻辑联结词等概念，这些知识又是全面理解其它概念和进行正确推理及准确表达的重要工具。本章在中学数学中