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文档简介

求解流程图,微分方程求解总结,1,.,1.折线积分,2.凑全微分,3.定积分,转为z的一阶线性,关于u一阶,2,.,二阶变系数,二阶,一阶,二阶常系数,解的结构,3,.,P338,P348,4,.,一、一阶微分方程求解,1.一阶标准类型方程求解,关键:辨别方程类型,掌握求解步骤,2.一阶非标准类型方程求解,(1)变量代换法代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2)积分因子法选积分因子,解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,5,.,例1.求下列方程的通解,提示:(1),故为分离变量方程:,通解,1、一阶标准类型,6,.,方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.,化为,7,.,方法1这是一个齐次方程.,方法2化为微分形式,故这是一个全微分方程.,8,.,例2.求下列方程的通解:,提示:(1),令u=xy,得,(2)将方程改写为,(伯努利方程),(分离变量方程),原方程化为,二、非标准类型：,9,.,令y=ut,(齐次方程),令t=x1,则,可分离变量方程求解,化方程为,10,.,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解:,11,.,例3.,设F(x)f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(,+),内满足以下条件:,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;,(2)求出F(x)的表达式.,解:(1),所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:,12,.,(2)由一阶线性微分方程解的公式得,于是,13,.,二、两类二阶微分方程的解法,1.可降阶微分方程的解法降阶法,令,令,逐次积分求解,14,.,2.二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,15,.,二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:,(1)写出相应的特征方程,(2)求出特征方程的两个根,(3)根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解,求解二阶常系数线性方程,16,.,非齐,通解,齐次通解,非齐特解,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,17,.,(3).上述结论也可推广到高阶方程的情形.,18,.,解答提示,P353题2求以,为通解的微分方程.,提示:由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P353题3求下列微分方程的通解,提示:(6)令,则方程变为,19,.,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思考,若(7)中非齐次项改为,提示:,原方程通解为,特解设法有何变化?,20,.,P354题4(2)求解,提示:令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,
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