陕西蓝田高中数学第四章导数应用4.1.1导数与函数的单调性2教案北师大选修11

4.1.1导数与函数的单调性教学目标：1.能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘函数大致图象2.通过利用导数研究函数的单调区间的过程，掌握利用导数研究函数性质的方法。总结求函数单调区间的一般步骤，体会其中的算法思想，认识到导数在研究函数性质中的作用。3.通过用导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系，以及导数的应用价值。教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求一些简单的非初等函数的单调区间教学难点：导数与单调性之间的联系，利用导数绘制函数的大致图象教学设计：一、问题情境问题一确定函数的单调区间从形的角度：根据二次函数的图象（逐渐上升、逐渐下降）。从数的角度：利用函数单调性的定义，复习定义法。问题二你能确定函数 的单调区间吗？这个函数的图象我们不知道，定义法解决不了，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。除了单调性是对函数变化趋势的刻画，最近研究的哪个知识也刻画了函数变化的趋势？导数就是瞬时变化率，它反映了函数在一点处变化的快慢。设计意图：以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：三次函数或非初等函数判断单调性，在用定义法、图象法很不方便时，如何思考、化未知为已知，让学生积极主动地参与到学习中来二、数学探究研究数学问题常用的方法就是从简单入手，从特殊入手。下面先从形的角度，还是从二次函数入手，来研究一下导数和函数的单调性两者之间的关系。几何画板演示，共同探究。再看几个我们熟悉的函数图像（验证）函数图像单调性导数的正负导数R上单调递增+R上单调递减递减，递减，递增，递减+恒为0之前我们是通过形的角度去直观感受，下面我们再从数的角度给出理论说明：如果函数在区间I上是增函数，那么对任意,当时，即与同号，即，所以导数大于0与函数单调递增密切相关。同理，导数小于0与函数单调递减密切相关。导数与函数的单调性的关系一般地， 对于函数yf（x），如果在某区间上f(x)0，那么f（x）为该区间上的增函数；如果在某区间上f(x)0，那么f（x）为该区间上的减函数如果在某个区间恒有f(x)=0，那么f（x）为常函数。设计意图：对具体例子通过观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体思考：试结合思考：如果函数在某区间上单调递增，那么在该在区间上是否必有导数大于零？设计意图：通过实例告诉学生，由导数的正负可以判断函数的单调性，但不能将条件与结论对调。通过以上的结论，知道函数的单调性与其导数的正负有关，因此除了定义法研究函数的单调性以后我们还可以利用导数。三、数学应用例1确定下列函数的单调区间：（教师示范）解： ，令0，解得，故函数的单调递增区间为； 令,解得，故函数的单调递减区间为。 （学生演示） （学生演示） 由学生总结利用导数讨论函数单调性的步骤：求函数f(x)的定义域求函数f(x)的导数令0解不等式与，得的范围与定义域求交集就是递增区间令0解不等式，得的范围与定义域求交集就是递减区间变式1：你能利用导数作出函数 的草图吗？变式2：已知方程 有三个不同的实数解，则实数的取值范围为_设计意图：通过具有开放性问题的设计，可以拓展学生思维，有利于学生对函数单调性与导数关系的更深层次的理解，进一步培养学生作函数图象与使用数形结合解决问题的意识四 巩固练习1确定下列函数的单调区间（1） （2） （3）五、课堂小结； 通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？能解决哪些问题？本节课我们用到了哪些数学思想方法？设计意图：通过小结，培养学生学习总结反思的