江西上饶重点中学六校高三数学第一次联考理

江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考数学（理）试卷注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合 ， ，则 ()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出集合和，再求并集即可.【详解】解不等式得，即；由得，即；所以.故选A【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.2.设，则()A. B. 3 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】先由复数运算法则将化简，再计算的模即可.【详解】因为，所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可求解，属于基础题型.3.已知函数 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先计算出的值，即可求出结果.【详解】因为 ，所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，由内向外逐步代入即可求出结果，属于基础题型.4.“”是“”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据对数不等式的性质解得，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】ln（x+1）00x+111x0，1x0，但时，不一定有1x0，如x=-3，故“”是“”的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查对数不等式的性质，属于基础题5.已知非零向量满足且，则向量的夹角为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由以及表示出，再由即可求出结果.【详解】因为，所以，即，所以，因此向量的夹角为.故选C【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量数量积以及夹角公式，即可求解，属于基础题型.6.函数为奇函数，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由函数为奇函数，求出，再由微积分基本定理，即可求出结果.【详解】因为为奇函数，所以，即；所以.故选D【点睛】本题主要考查微积分基本定理，熟记定理即可求解，属于基础题型.7.九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积3升，下面3节的容积之积为9升，则第5节的容积为()A. 2升 B. 升 C. 3升 D. 升【答案】B【解析】设该等差数列为，公差为由题意得，即，解得选B8.函数的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别令和，用排除法即可得出结果.【详解】令，得，排除B、C选项；令，得，排除D.故选A【点睛】本题主要考查函数的图像，特殊值法是选择题中比较实用的一种方法，属于基础题型.9.设满足不等式组，则的最大值为（ ）A. 3 B. -1 C. 4 D. 5【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，目标函数，求出与的交点坐标，代入目标函数即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：因为目标函数，令，则表示可行域内的点与原点连线的斜率，由图像易知和的交点与原点连线的斜率最大，即最大.由得，所以，所以.故选C【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需理解目标函数的几何意义，结合可行域即可求解，属于基础题型.10.设数列满足，且对任意整数，总有成立，则数列 的前2018项的和为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由得，根据分别求出数列的前几项，确定数列的周期，进而可求出结果.【详解】因为，所以，因为，所以，即数列是以4为周期的数列，所以.故选B【点睛】本题主要考查数列的求和问题，根据题中条件，先确定数列为周期数列即可，属于常考题型.11.已知函数,若函数在区间2，4内有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先作出函数的图像，再由函数在区间2，4内有3个零点可得，函数与在区间2，4内有3个不同交点，进而可求出结果.【详解】当时，；当时，；又时，所以可作出函数在2，4的图像如下：又函数在区间2，4内有3个零点，所以函数与在区间2，4内有3个不同交点，由图像可得或,即或.故选D【点睛】本题主要考查函数的零点问题，将函数有零点的问题转化为两函数有交点的问题来处理，运用数形结合思想即可求解，属于常考题型.12.已知点O为双曲线C的对称中心，直线交于点O且相互垂直，与C交于点，与C交于点，若使得成立的直线有且只有一对，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据使得成立的直线有且只有一对，可得双曲线渐近线的斜率大于1，进而可求出结果.【详解】设双曲线方程为；所以渐近线方程为因为直线交于点O且相互垂直，与双曲线C交于点，与C交于点，且使得成立的直线有且只有一对，所以可得，所以，即，所以.故选D【点睛】本题主要考查双曲线的性质，解题关键在于搞清双曲线的渐近线与已知直线斜率之间的关系，属于常考题型.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为_【答案】【解析】【分析】分别求出“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数，以及“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数，基本事件个数之比即是所求概率.【详解】因为“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数为；“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数为；所以恰好选中一名男生和一名女生的概率为.故答案为【点睛】本题主要考查古典概型的问题，只需分别计算出基本事件总数以及满足条件的基本事件数，即可求解，属于基础题型.14.一个四棱锥的俯视图如图所示，它的外接球的球心到底面的距离是该球半径的一半，则这个四棱锥的侧视图的面积为_.【答案】或【解析】【分析】根据该几何体的俯视图，先求出其外接球半径，再确定四棱锥的高，进而可得出侧视图的面积.【详解】设该四棱锥外接球半径为，因为外接球的球心到底面的距离是该球半径的一半，所以，解得，所以四棱锥的高为或，因此侧视图的面积为或.故答案为或【点睛】本题主要考查几何体的三视图，解题关键在于求该四棱锥的高，属于基础题型.15.若不等式在区间上恒成立，则实数取值范围是_.【答案】【解析】【分析】因为不等式在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，求出在区间上的最小值即可.【详解】因为不等式在区间上恒成立，所以在区间上恒成立；令，则,所以得，所以时，函数单调递减；时，函数单调递增；所以.所以.故答案为【点睛】本题主要考查导数的方法研究不等式恒成立的问题，根据不等式恒成立求参数的问题，通常需要分离参数，构造函数，由导数的方法求新函数的最值即可，属于常考题型.16.已知中，点是线段上一动点，点是以点为圆心、为半径的圆上一动点，若，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，设，得到圆的参数方程，表示出点坐标，再由，分别表示出，即可求出结果.【详解】因为中，以点为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，则，所以所在直线方程为，设，则,又点是以点为圆心、为半径的圆上一动点，所以可设，因为，所以，所以，所以.故答案为【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用，结合题意表示出，再由三角函数的性质以及向量的坐标运算，即可求出结果，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.已知在中，分别为角A,B,C的对应边，点D为BC边的中点，的面积为.(1)求的值；(2)若，求。【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】(1)先由的面积为且D为BC的中点，得到的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理即可求出结果；(2)根据(1)的结果和，可求出和；再由余弦定理，即可求出结果.【详解】(1)由的面积为且D为BC的中点可知:的面积为,由三角形的面积公式可知:,由正弦定理可得:,所以, (2) ,又因为为中点，所以,即,在中由正弦定理可得,所以由（1）可知所以, 在直角中,所以.,在中用余弦定理，可得.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.18.在四棱锥中，底面为菱形，点为菱形对角线的交点，且.（1）证明：；（2）若，问：在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的余弦值为？【答案】（1）见解析； （2）点M不存在.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可直接证明结论成立；（2）假设存在点，使得，以为原点，为轴，与中点的连线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，根据与平面所成角的余弦值为，求出的值，即可得出结果.【详解】（1）证明： 为等腰三角形 又为中点 ,底面为菱形 , ,（2）以为原点，为轴，与中点的连线为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则，, 令， 则， 设平面的一个法向量为由 得,令 得,解得,又, 不存在.即这样的点M不存在.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及已知线面角求参数的问题，熟记判定定理即可证明第一问；对于线面角的求法，通常采用空间向量的方法，属于常考题型.19.某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线；（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出4人参加全市座谈交流，设表示得分在中参加全市座谈交流的人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在给予500元奖励，若该生分数在给予800元奖励，用Y表示学校发的奖金数额，求Y的分布列和数学期望。【答案】（1）本次考试复赛资格最低分数线应划为100分； （2）5人，2人；（3）元.【解析】【分析】（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线，即是求考试成绩中位数，只需满足中位数两侧的频率之和均为0.5即可；（2）先确定得分在区间与的频率之比，即可求解；（3）先确定的可能取值，再求出其对应的概率，即可求出分布列和期望.【详解】（1）由题意知的频率为：，的频率为：所以分数在的频率为：，从而分数在的， 假设该最低分数线为由题意得解得故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分。（2）在区间与， 在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间与各抽取5人，2人，结果是5人，2人（3）的可能取值为2，3，4，则：，从而Y的分布列为Y260023002000(元)【点睛】本题主要考查频率分布直方图求中位数，以及分层抽样和超几何分布等问题，熟记相关概念，即可求解，属于常考题型.20.已知椭圆的两焦点在轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为的等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）； （2）线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1).【解析】【分析】(1)根据椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，以及斜边长为，可求出，进而可求出椭圆方程；(2)先由直线可得求过定点；根据与轴平行时或与轴平行时，先求出定点，再由证明即可.【详解】(1)椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，.又斜边长为，即，故， ， 椭圆方程为. (2)由题意可知该动直线过定点,当与轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为；当与轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为.由 得，故若存在定点，则的坐标只可能为.下面证明为所求：若直线的斜率不存在，上述已经证明.若直线的斜率存在，设直线：，由 得， ，=，即以线段AB为直径的圆恒过点.【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆中存在定点满足某条件的问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求解，属于常考题型，计算量较大.21.已知函数，曲线与在原点处的切线相同。(1)求的值；(2)求的单调区间和极值；(3)若时，求的取值范围。【答案】（1）； （2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）分别对函数和求导，由题意得，即可求出结果；(2)由求增区间，由求减区间，进而可得出结果;(3)构造函数，由导数的方法分类讨论研究其单调性和最值即可得出结果.【详解】（1）因为，依题意，得，（2）所以当时， ；当时故的单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为 ；无极大值； （3）由（1）知，当时，,此时无论K取何值均满足，当时，令所以，又令,所以因为时，令得，当时，所以在递增，从而 即满足时，。当时，所以在递增，又因为，x趋近时趋近，根据零点存在性定理所以存在使得，所以在上递减，在上递增，因为,所以，此时不满足时，综上所述，的取值范围是。【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，研究其单调性和极值等，属于常考题型.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23二题中任选一题作答。如果多做，