陕西渭南高三数学教学质量检测试卷二理

2019年陕西省渭南市高考数学二模试卷(理科)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设集合，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.2.复数满足 (为虚数单位),则的值是()A. B. C.D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可【详解】由得：本题正确选项：【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力3.设函数满足,则的图象可能()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件得到函数偶函数，图象关于y轴对称，同时函数也关于x=-1对称，利用排除法进行求解即可【详解】由fxfx=0得fx=fx，即函数fx是偶函数，排除A,C由fx=fx2,得fx=fx2=fx，即函数关于x=1对称，排除D本题正确选项：B【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合条件判断函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键4.已知cos=-13,2,则sin(+)= ()A. 223B. -223C. 223D. 13【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可【详解】cos=13，2,sin=1cos2=119=223sin+=sin=223本题正确选项：B【点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力5.设a=120.2,b=log23,c=20.3，则（ ）A. bcaB. abcC. bacD. acb【答案】C【解析】【分析】由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可.【详解】由题意可得：a=120.20,1，b=log231，c=20.3=120.30,1，指数函数y=12x单调递减，故120.2120.3，综上可得：bac.故选：C.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确6.在ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足AP=2PM,则PAPB+PC等于()A. 49B. 43C. 43D. 49【答案】A【解析】如图，AP12 PM，|AP|13|AM|13，PA(PBPC)PA(PAABPAAC)PA(2PA2AM)2PA22PAAM219213cos18049，故选A【此处有视频，请去附件查看】7.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心（x，y）C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高170cm，则可断定其体重比为58.79kg【答案】D【解析】根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x85.71，则=0.850，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（x,y），B正确；该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.8517085.71=58.79kg，D错误故选：D【此处有视频，请去附件查看】8.费马素数是法国大数学家费马命名的,形如22n+1(nN)的素数(如：220+1=3)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是()A. 215B. 15C. 415D. 13【答案】B【解析】【分析】基本事件总数n=15，能表示为两个不同费马素数的和只有8=3+5，20=3+17，22=5+17，共有3个，根据古典概型求出概率【详解】在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数n=15能表示为两个不同费马素数的和的只有8=3+5，20=3+17，22=5+17，共有3个则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是P=315=15本题正确选项：B【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题9.已知函数f(x)=sinx+4xR,0的最小正周期为,为了得到函数gx=cosx的图象,只要将y=fx的图象()A. 向左平移8个单位长度B. 向右平移8个单位长度C. 向左平移4个单位长度D. 向右平移4个单位长度【答案】A【解析】试题分析：由f(x)的最小正周期是，得=2，即f(x)=sin(2x+4) =sin2(x+8)，因此它的图象可由g(x)=sin2x的图象向左平移8个单位得到故选A考点：函数f(x)=Asin(x+)的图象与性质【名师点睛】三角函数图象变换方法：【此处有视频，请去附件查看】10.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()A. 23B. 43C. 233D. 433【答案】A【解析】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其中，底面为直角三角形，AD=2，AE=3，高为AB=2.该几何体的体积为V=12232=23故选A.11.抛物线y2=4x的焦点为F,点Px,y为该抛物线上的动点,又点A1,0,则|PF|PA|的最小值是()A. 12B. 22C. 32D. 233【答案】B【解析】依题意知x0，焦点F(1,0)，则|PF|x1，|PA|(x+1)2+y2(x+1)2+4x.当x0时，|PA|PF|1；当x0时，10)的一条渐近线为y=2x,则焦点到这条渐近线的距离为_【答案】2.【解析】【分析】由双曲线x2y2b2=1(b0)的一条渐近线为y=2x，解得b求出双曲线的右焦点c,0，利用点到直线的距离公式求解即可【详解】双曲线x2y2b2=1(b0)的一条渐近线为y=2x b1=2解得：b=2 c=1+22=5双曲线的右焦点为5,0焦点到这条渐近线的距离为：251+22=2本题正确结果：2【点睛】本题考查了双曲线和的标准方程及其性质，涉及到点到直线距离公式的考查，属于基础题14.函数y=axex的图象在x=0处的切线与直线y=-x互相垂直,则a=_【答案】1.【解析】【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可【详解】函数y=axex的图象在x=0处的切线与直线y=-x垂直,函数y=axex的图象在x=0的切线斜率k=1fx=aex+axex f0=a=1本题正确结果：1【点睛】本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键15.ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，若2ccosB=2a+b，则C=_【答案】120【解析】2ccosB=2a+b，2ca2+c2b22ac=2a+b，即a2+b2c2=ab，cosC=a2+b2c22ab=12，C=12016.已知定义在R上的函数fx的图象关于点1,1对称,gx=x13+1,若函数fx图象与函数gx图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(x2019,y2019),则i=12019xi+yj=_【答案】4038.【解析】【分析】由函数图象的对称性得：函数fx图象与函数gx图象的交点关于点1,1对称，则x1+x2019=x2+x2018=x3+x2017=2x1010=2，y1+y2019=y2+y2018=y3+y2017=2y1010=2,即i=12019xi+yj=4038，得解详解】由gx=x13+1知：gx+g2x=2得函数y=gx的图象关于点1,1对称又函数fx的图象关于点1,1对称则函数fx图象与函数gx图象的交点关于点1,1对称则x1+x2019=x2+x2018=x3+x2017=2x1010=2y1+y2019=y2+y2018=y3+y2017=2y1010=2故x1+x2+x2018+x2019=2019，y1+y2+y2018+y2019=2019即i=12019xi+yj=4038本题正确结果：4038【点睛】本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题三、解答题：本题共5小题,满分60分,解答应写出文字说明,证明或演算步骤17.已知等比数列an,其公比q1,且满足a2+a3=12,a2和a4的等差中项是10()求数列an的通项公式；()若bn=nan,Tn是数列bn的前n项和,求使Tn-n2n+1+14=0成立的正整数n的值【答案】() an=2n.() n=3.【解析】【分析】()由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求通项公式；()bn=nan=n2n，由数列的错位相减法求和可得Tn，解方程可得所求值【详解】()等比数列an,其公比q1,且满足a2+a3=12,a2和a4的等差中项是10即有a1q+a1q2=12，20=a2+a4=a1q+a1q3解得：a1=q=2 an=2n()由()知：bn=nan=n2n则Tn=12+222+323+n2n2Tn=122+223+324+n2n+1相减可得：Tn=2+22+23+2nn2n+1=212n12n2n+1化简可得：Tn=2+n12n+1Tnn2n+1+14=0，即为162n+1=0解得：n=3【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题18.每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”()求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；()以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X表示抽到“很幸福”的人数,求X的分布列及EX【答案】()199204. ()见解析.【解析】【分析】()18人中很幸福的有12人，可以先计算其逆事件，即3人都认为不很幸福的概率，再用1减去3人都认为不很幸福的概率即可；()根据题意,随机变量XB3,23，列出分布列，根据公式求出期望即可【详解】()设事件A=抽出的3人至少有1人是“很幸福”的，则A表示3人都认为不很幸福PA=1PA=1C63C183=15204=199204()根据题意，随机变量XB3,23，X的可能的取值为0,1,2,3PX=0=C30133=127；PX=1=C3123132=29；PX=2=C3223213=49；PX=3=C33233=827所以随机变量X的分布列为：X0123P1272949827所以X的期望EX=0127+129+249+3827=2【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型19.已知ABC是等腰直角三角形,ACB=2,AC=2D,E分别为AC,AB的中点,沿DE将ADE折起,得到如图所示的四棱锥A1-BCDE()求证：平面A1DC平面A1BC()当三棱锥C-A1BE的体积取最大值时,求平面A1CD与平面A1BE所成角的正弦值【答案】()见解析. () 63.【解析】【分析】(I)证明DE平面A1CD得出BC平面A1CD，根据面面垂直的判定定理得到结论；(II)当A1D平面BCDE时，棱锥体积最大，建立空间坐标系，计算两平面的法向量，计算法向量的夹角得出答案【详解】(I)证明：ACB=2 ACBCD,E分别为AC,AB的中点 DE/BC DEACDECD，DEA1D，又A1DCD=DDE平面A1CDBC平面A1CD，又BC平面A1BC平面A1DC平面A1BC(II)VCA1BE=VA1BCE，SBCE为定值当A1D平面BCDE时，三棱锥CA1BE的体积取最大值以D为原点,以DC,DE,DA1为坐标轴建立空间直角坐标系Dxyz则B1,2,0,E0,1,0,A10,0,1BE=1,1,0，EA1=0,1,1设平面A1BE的法向量为n=x,y,z，则mBE=0mEA1=0即xy=0y+z=0，令x=1可得n=1,1,1DE平面A1CD n=0,1,0是平面A1CD的一个法向量cos=mnmn=131=33平面A1CD与平面A1BE所成角的正弦值为1332=63【点睛】本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算，关键是能够根据体积的最值确定垂直关系，从而可以建立起空间直角坐标系，利用空间向量法求得二面角，属于中档题20.已知定点A3,0、B3,0,直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为19,记动点M的轨迹为曲线C()求曲线C的方程；()过点T1,0的直线与曲线C交于P、Q两点,是否存在定点Ss,0,使得直线SP与SQ斜率之积为定值,若存在求出S坐标；若不存在请说明理由【答案】(1) 曲线C的方程为x29+y2=1 x3;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）设动点Mx,y，利用斜率公式kMA,kMB，由kMAkMB=19，化简即可得到曲线C的方程；（2）由已知直线过点T1,0，设的方程为x=my+1，联立方程组，得y1+y2,y1y2，得到kSQkSP的表达式，即可确定定值，得到定点的坐标试题解析：（1）设动点Mx,y，则kMA=yx+3，kMB=yx-3 x3，kMAkMB=-19， 即yx+3yx-3=-19化简得：x29+y2=1，由已知x3，故曲线C的方程为x29+y2=1 x3 （2）由已知直线过点T1,0，设的方程为x=my+1，则联立方程组x=my+1x2+9y2=9，消去x得m2+9y2+2my-8=0,设Px1,y1，Qx2,y2，则y1+y2=-2mm2+9y1y2=-8m2+9， 直线SP与SQ斜率分别为kSP=y1x1-s=y1my1+1-s，kSQ=y2x2-s=y2my2+1-s，kSPkSP=y1y2my1+1-smy1+1-s=y1y2m2y1y2+m1-sy1+y2+1-s2 =-8s2-9m2+91-s2当s=3时，kSPkSP=-891-s2=-29；当s=-3时，kSPkSP=-891-s2=-118所以存在定点S3,0，使得直线SP与SQ斜率之积为定值点睛：本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，利用函数的性质进行求解，试题往往运算、化简比较繁琐，注意运算的准确性，试题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21.已知函数f(x)=lnxx()求函数fx的极值；()若mn0,且mn=nm,求证：mne2【答案】()极大值为：1e，无极小值；()见解析.【解析】【分析】()求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数fx的极值；()得到fm=fn,根据函数的单调性问题转化为证明me2ne，即证lnnnn2lnne2,令Gx=e2lnx2x2+x2lnx1x0，得0xe；令fxefx在0,e上单调递增，在e,+上单调递减函数fx的极大值为fe=lnee=1e，无极小值()mn0，mn=nm nlnm=mlnnlnmm=lnnn，即fm=fn由()知fx在0,e上单调递增，在e,+上单调递减且f1=0，则1nee2，即证me2ne，即证fmfe2n，即证fnfe2n即证lnnnn2lnne2由于1ne，即0lnn1，即证e2lnn2n2n2lnn令Gx=e2lnx2x2+x2lnx1xe则Gx=e2x4x+2xlnx+x=e2xx+2xlnx1=e+xexx+2xlnx11x0恒成立 Gx在1,e递增Gxe2【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，考查运算求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题，属于难题请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线的参数方程为x=122ty=22t（为参数），曲线C的极坐标方程为=4cos；（1）求直线的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2）若直线与曲线C交点分别为A，B，点P1,0，求1|PA|+1