高中数学 11 第2课时数列的函数特性同步导学案 北师大必修5

第2课时数列的函数特性知能目标解读1.熟练掌握数列与函数之间的关系，了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.3.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项.重点难点点拨重点：1.了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.学习方法指导1.数列的概念与函数概念的联系(1)数列是一种特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集1,2,3,n，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数.(2)数列与函数不能画等号，数列是相应函数的一系列函数值.(3)利用函数与数列的关系，可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性质.2.数列的表示方法(1)数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点.(2)若数列是以解析式的形式给出的，则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点.(3)数列是一类离散函数，它是刻画离散过程的重要数学模型，有很广泛的应用.(4)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但是它只能表示有限个元素间的对应关系.3.数列的单调性（1）递增数列：一般地，一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an+1an(nN+)，那么这个数列叫做递增数列.（2）递减数列：一般地，一个数列an，如果从第2项起，每一项都小于它前面的项，即an+10还是anan递增(3)an+10)上的无穷多个孤立的点.变式应用1已知数列an的通项公式为an=2n-1,作出该数列的图像.解析分别取n=1,2,3,得到点（1,1）,(2,3),(3,5),描点作出图像.如图，它的图像是直线y=2x-1上的一些等间隔的点.命题方向数列单调性的判断例2已知函数f(x)=2x-2-x，数列an满足f(log2an) =-2n.(1)求数列an的通项公式；（2）求证数列an是递减数列.分析（1）已知函数关系式，由条件可得出2log2an-2-log2an=-2n,解这个关于an的方程即可；（2）只需证明an+1-an1(an0)即可.解析（1）f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,2log2an-2-log2an=-2n,an-=-2n,an2+2nan-1=0,解得an=-n.an0,an=-n.（2）=0,则数列an是递增数列；若an+1-an1,则数列an是递增数列；若0,an+1an,该数列为递减数列.命题方向数列中最大项与最小项的求法例3求数列-2n2+9n+3中的最大项.分析由通项公式可以看出an与n构成二次函数关系，求二次函数的最值可采用配方法.此时应注意自变量n为正整数.解析由已知an=-2n2+9n+3=-2(n-)2+.由于n为正整数,故当n=2时,an取得最大值为13.所以数列-2n2+9n+3的最大值为a2=13.说明数列的项与项数之间构成特殊的函数关系,因此有关数列的最大项与最小项问题可用函数最值的求法去解决,但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件.变式应用3已知数列an的通项公式为an=n2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.解析（1）由n2-5n+40,解得1n0,即230-1001.05n-20时，1.05n-22.3，得n19.1.因此，当2n19时，cn-1cn,于是当n20时，cncn-1.所以c19=a19-b19827(元).即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.说明数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N+（或它的有限子集1,2,3,n）的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径.变式应用4某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值（万元）组成数列an，满足an=2n2-15n+3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？解析由题意知，实质是求数列an的最小项.由于an=2n2-15n+3=2（n-）2-，图像如图所示，由图像知n=4时，a4最小，a4=-25，即第4个月产值最少，最少为-25万元.名师辨误做答例5已知an=a（）n(a0且a为常数)，试判断数列an的单调性.误解an-an-1=a（）n-a（）n-1=-a（）n0,其实对非零实数a应分a0和a0时，an-an-10,anan-1,数列an是递减数列.当a0,anan-1,数列an是递增数列.课堂巩固训练一、选择题1.已知数列an,a1=1,an-an-1n-1(n2)，则a6=（）A.7B.11C.16D.17答案C解析a1=1,an-an-1=n-1(n2)，a2-a1=1,a2=a1+1=2,a3-a2=2,a3=a2+2=4,a4-a3=3,a4=a3+3=7,a5-a4=4,a5=a4+4=11,a6-a5=5,a6=a5+5=16.2.(2012济南高二检测)数列an中，an=-n2+11n,则此数列最大项的值是（）A. B.30C.31D.32答案B解析an=-n2+11n=-（n-）2+,nN+,当n=5或6时，an取最大值30，故选B.3.一给定函数y=f(x)的图像在下列图中，并且对任意a1(0,1),由关系式an+1=f(an)得到数列an满足an+1an(nN+)，则该函数的图像是（）答案A解析由关系式an+1=f(an)得到数列an满足an+1an,可得f(an)an,即f(x)x.故要使该函数y=f(x)图像上任一点（x,y）都满足yx,图像必在直线y=x的上方，所以A正确.说明：借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清楚明白，数列问题有时用图像来处理，往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.二、填空题4.已知f(1)=2,f(n+1)= (nN+),则f(4)=.答案解析f(1)=2,f(n+1)= (nN),f(2)= =,f(3)= =,f(4)= =.5.已知数列an中，an=an+m(a0,nN)满足a1=2,a2=4,则a3=.答案2 2=a+m a=2 a=-1解析a1=2,a2=4, , （舍去）或 ,4=a2+m m=0 m=3a3=(-1) 3+3=2.三、解答题6.证明数列是递减数列.证明令an=，an+1-an=-=-=-0,an+10可知an+1an，所以数列an是递增数列.2.设an=-n2+10n+11，则数列an的最大项为（） A.5B.11C.10或11D.36答案D解析an=-n2+10n+11=-(n-5) 2+36,当n=5时，an取最大值36.3.数列an中，a1=0，以后各项由公式a1a2a3ann2给出，则a3+a5等于（）A. B. C. D. 答案C解析a1a2a3an=n2,a1a2a3=9,a1a2=4,a3.同理a5=,a3+a5=+=.4.已知数列an的通项公式an=lg1536-(n-1)lg2，则使得an0成立的最小正整数n的值为（）A.11B.13C.15D.12答案D解析lg1536-lg2n-10,lg15361536,代入验证得答案为D.5.已知数列an中，a1=1,a2=3，an=an-1+ (n3)，则a5=（）A. B. C.4D.5答案A解析a3=a2+=3+1=4.a4=a3+=4+=.a5=a4+=+=.6.在数列an中，a1=1,anan-1=an-1+(-1) n(n2)，则的值是（）A. B. C. D. 答案C解析a1=1,a2=1+1=2,a3a2=a2+(-1) 3=2+(-1)=1,a3=,又a3a4=a3+(-1) 4,a4=3,a4a5=a4+(-1) 5=2,a5=,=.7.已知Sk表示数列的前k项和，且Sk+Sk+1=ak+1 (kN+)，那么此数列是（）A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列答案C解析ak+1=Sk+1-Sk=Sk+Sk+1，Sk=0(kN+).可知此数列每一项均为0，即an=0是常数列.8.已知数列an的通项公式为an=（）n-1（）n-1-1，则关于an的最大项，最小项叙述正确的是（） A.最大项为a1,最小项为a3B.最大项为a1,最小项不存在C.最大项不存在，最小项为a3D.最大项为a1，最小项为a4答案A解析令t=（）n-1，则它在N+上递减且0t1，而an=t2-t，在0a3，故选A.二、填空题9.已知数列an的通项公式an=n2-4n-12（nN+），则（1）这个数列的第四项是；（2）65是这个数列的第项；（3）这个数列从第项起以后各项为正数.答案12117解析(1)a4=42-44-12-12.(2)令65n2-4n-12,n2-4n-77=0,n=11或n=-7(舍去).故65是这个数列的第11项.（3）令n2-4n-120,得n6或nan解析a,b,c均为实数，f(x)= =在(0,+)上是增函数，故数列an=在nN+时为递增数列，an-3解析由an为递增数列，得an+1-an=(n+1) 2+(n+1)-n2-n=2n+1+0恒成立，即-2n-1在n1时恒成立，令f(n)=-2n-1,f(n) max=-3.只需f(n) max=-3即可.12.若数列an的通项公式为an=-2n2+13n，关于该数列，有以下四种说法：(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值；(4)-70是该数列中的一项.其中正确的说法有.（把所有正确的序号都填上）答案(2)(4)解析令-2n2+13n0，得0n0,an+1an.故数列an为递增数列.14.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来.(1)an=(-1) n+2;(2)an=.解析(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图1.(2)a1=2,a2=,a3=,a4=,a5=.图像如图2.15.已知数列an,a1=2,an+1=2an，写出数列的前4项，猜想an,并加以证明.证明由a1=2,