相约期末高中数学 第三章不等式期末知识梳理 新人教A必修5

第三章：不等式1、；比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。2、不等式的性质： ；，；3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两个相异实数根 有两个相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集来5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合8、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点若，则点在直线的上方若，则点在直线的下方9、在平面直角坐标系中，已知直线若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域10、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式线性目标函数：目标函数为，的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解11、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数12、均值不等式定理： 若，则，即13、常用的基本不等式：；14、极值定理：设、都为正数，则有若（和为定值），则当时，积取得最大值若（积为定值），则当时，和取得最小值一元二次不等式的求解：特例 一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的讨论. 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 对于a0(或0)； 0(或0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法：基本形式：型如：|x|a (a0) 的不等式 的解集为：型如：|x|a (a0) 的不等式 的解集为：变型：解得。其中-cax+bc等价于不等式组 在解-cax+b0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：对称轴x=yox设ax2+bx+c=0的两根为，f(x)=ax2+bx+c,那么：若两根都大于0，即，则有对称轴x=oxy若两根都小于0，即，则有oyx若两根有一根小于0一根大于0，即，则有X=nxmoy若两根在两实数m,n之间，即，则有 X=yomtnx若两个根在三个实数之间，即，则有35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合38、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点若，则点在直线的上方若，则点在直线的下方39、在平面直角坐标系中，已知直线（一）由B确定：若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域（二）由A的符号来确定：先把x的系数A化为正后，看不等号方向：若是“”号，则所表示的区域为直线l: 的右边部分。若是“”号，则所表示的区域为直线l: 的左边部分。（三）确定不等式组所表示区域的步骤：画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线定测：由上面（一）（二）来确定求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。40、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式线性目标函数：目标函数为，的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解41、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数42、均值不等式定理： 若，则，即43、常用的基本不等式：；44、极值定理：设、都为正数，则有：若（和为定值），则当时，积取得最大值若（积为定值），则当时，和取得最小值例1、求不等式的解集。解：将原不等式因式分解为： 由方程：解得 将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图+-214x由图可看出不等式的解集为：例2、已知，求函数的最大值。解：， 由原式可以化为： 当，即时取到“=”号也就是说当时有例3、求解不等式：32x解：零点分类讨论法： 分别令 解得： 在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图 当时，（去绝对值符号）原不等式化为： 当时，（去绝对值符号）原不等式化为：当时，（去绝对值符号）原不等式化为：5=10yo2x由得原不等式的解集为：（注：是把的解集并在一起）函数图像法：令则有：在直角坐标系中作出此分段函数及的图像如图由图像可知原不等式的解集为：例4、若方程有两个正实数根，求的取值范围。解：由型得所以方程有两个正实数根时，。例5、方程的一根大于1，另一根小于1，求的范围。解：因为有两个不同的根，所以由例6、(山东省烟台市2012届高三上学期期末文科) 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低.解：（1）设污水处理池的宽为米，则长为米.则总造价f(x)=400（）+2482x+80162 =1 296x+12 960=1 296（）+12 9601 2962+12 960=38 880（元）， 当且仅当x= (x0),即x=10时取等号. 当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元. （2）由限制条件知, 设g(x)= （）.g（x）在上是增函数，当x=10时(此时=16), g(x)有最小值，即f(x)有最小值. 当长为16米，宽为10米时，总造价最低. 例7、画出不等式组表示的平面区域解：把，代入中得 不等式表示直线下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示例8、求不等式组所表示的平面区域的面积解：不等式可化为或；不等式可化为或在平面直角坐标系内作出四条射线， ，则不等式组所表示的平面区域如图 由于与、与互相垂直，所以平面区域是一个矩形