高中数学2.5.1平面几何中的向量方法教案新人教A必修4

课题 25.1平面几何中的向量方法教学目标知识与技能通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面 几何的问题的三步曲过程与方法明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示情感态度价值观让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性重点用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”难点如何将几何等实际问题化归为向量问题教学设计教学内容教学环节与活动设计探究点一直线的方向向量与两直线的夹角(1)直线ykxb的方向向量：如果向量v与直线l共线，则称向量v为直线l的方向向量对于任意一条直线l：ykxb，在它上面任取两点A(x0，y0)，B(x，y)，则向量(xx0，yy0)与直线l共线，即为直线l的方向向量由于(xx0，yy0)(1，)(1，k)，所以向量(xx0，yy0)与向量(1，k)共线，从而向量(1，k)是直线ykxb的一个方向向量(2)直线AxByC0的方向向量当B0时，k，所以向量(B，A)与(1，k)共线，所以向量(B，A)是直线AxByC0的一个方向向量；当B0时，A0，直线x的一个方向向量为(0，A)，即(B，A)综上所述，直线AxByC0的一个方向向量为v(B，A)例如：已知直线l：2xy10，下列向量：v1(1,2)；v2(2,1)；v3；v4(2，4)其中能作为直线l方向向量的有：_.教学内容教学环节与活动设计(3)应用直线的方向向量求两直线的夹角已知直线l1：yk1xb1与直线l2：yk2xb2，它们的方向向量依次为v1(1，k1)，v2(1，k2)当v1v2，即v1v21k1k20时，l1l2，夹角为直角；当k1k21时，v1v20，直线l1与l2的夹角为(090)不难推导利用k1、k2表示cos 的夹角公式：cos .例如：直线x2y10与直线2xy30的夹角为_；直线2xy10与直线3xy10的夹角为_探究点二直线的法向量与两直线的位置关系(1)直线AxByC0的法向量：如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量因此若直线的方向向量为v，则nv0.从而对于直线AxByC0而言，其方向向量为v(B，A)，则由于nv0，于是可取n(A，B)，这时因为(B，A)(A，B)ABAB0.直线的法向量也有无数个(2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的位置关系：对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，它们的法向量分别为n1(A1，B1)，n2(A2，B2)当n1n2时，l1l2或l1与l2重合即A1B2A2B10l1l2或l1与l2重合；当n1n2时，l1l2.即A1A2B1B20l1l2.例如：直线l1：(a2)x(1a)y30与直线l2：(a1)x(2a3)y20垂直，则a的值为_探究点三平面向量在几何中的应用用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁直观其基本方法是：(1)要证明线段ABCD，可转化为证明|.(2)要证明ABCD，只需证明存在一个不为零实数，使得，且A、B、C、D不共线即可(3)要证明A、B、C三点共线，只需证明或.教学设计教学内容教学环节与活动设计(4)要证明ABCD，只需证明0，或若(x1，y1)，(x2，y2)，则用坐标证明x1x2y1y20即可(5)常用|a|和cos 处理有关长度与角度的问题例如，在平行四边形中有下列的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍请用向量法给出证明【典型例题】例1已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点(1)求直线DE、EF、FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线方程跟踪训练1在ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，求A的平分线的方程例2如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，求证：ARRTTC.跟踪训练2如图,已知PQ过OAB的重心G，设a，b.若ma，nb, 求证：3.例3如图所示，在平行四边形ABCD中，BC2BA，ABC60，作AEBD交BC于E，求的值跟踪训练3已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形求证：PAEF且PAEF.教学小结利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利