函数定义域,值域求法以及分段函数

. （一）函数的概念1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数（function）记作：y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域（range）注意： “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示4一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（二）映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）记作“f：AB”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。1 例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A=P | P是数轴上的点，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A= P | P是平面直角体系中的点，B=（x，y）| xR，yR，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A=三角形，B=x | x是圆，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A=x | x是新华中学的班级，B=x | x是新华中学的学生，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： BA是从集合B到集合A的映射吗？（三）函数的表示法常用的函数表示法：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法三、典例解析1、定义域问题例1 求下列函数的定义域： ； ； 解：x-2=0，即x=2时，分式无意义，而时，分式有意义，这个函数的定义域是.3x+20，即x-时，根式无意义，而，即时，根式才有意义，这个函数的定义域是|.当，即且时，根式和分式 同时有意义，这个函数的定义域是|且另解：要使函数有意义，必须： 例2 求下列函数的定义域： 解：要使函数有意义，必须： 即： 函数的定义域为： 要使函数有意义，必须： 定义域为： x|要使函数有意义，必须： 函数的定义域为：要使函数有意义，必须： 定义域为： 要使函数有意义，必须： 即 x 定义域为：例3 若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围 解：定义域是R,例4 若函数的定义域为-1，1，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须：函数的定义域为：例5 已知f(x)的定义域为1，1，求f(2x1)的定义域。分析：法则f要求自变量在1，1内取值，则法则作用在2x1上必也要求2x1在 1，1内取值，即12x11,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x1)中2x1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，12x11,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。（注意：f(x)中的x与f(2x1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）解：f(x)的定义域为1，1，12x11，解之0x1，f(2x1)的定义域为0，1。例6已知已知f(x)的定义域为1，1，求f(x2)的定义域。答案：1x21 x211x1 练习：设的定义域是-3，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须： 得： 0 函数的定域义为：例7已知f(2x1)的定义域为0，1，求f(x)的定义域因为2x1是R上的单调递增函数，因此由2x1， x0,1求得的值域1，1是f(x)的定义域。已知f(3x1)的定义域为1，2），求f(2x+1)的定义域。）（提示：定义域是自变量x的取值范围）练习：已知f(x2)的定义域为1，1，求f(x)的定义域若的定义域是，则函数的定义域是（）已知函数的定义域为，函数的定义域为，则（）B 2.值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a0时，值域为；当a0，=，当x0时，则当时，其最小值；当a0）时或最大值（a0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.若a,b,则a,b是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y=3+(23x)的值域解：由算术平方根的性质，知(23x)0， 故3+(23x)3。 函数的值域为.2、求函数 的值域解： 对称轴 例3 求函数y=4x1-3x(x1/3)的值域。解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+4-x的值域。(答案：y|y3)法二：换元法例4 求函数 的值域 解：（换元法）设，则 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=x-1 x的值域。（答案：y|y3/4例6 求 的值域解法一：（图象法）可化为 如图， 观察得值域解法二：（零点法）画数轴 利用可得。-103练习：的值域呢？ （）（三种方法均可）例7 求函数 的值域解：（换元法）设 ，则 原函数可化为10xy 例8求函数 的值域解：（换元法）令，则 由指数函数的单调性知，原函数的值域为 例9 求函数 的值域解：（图象法）如图，值域为 例10 求函数 的值域解法一：（逆求法）解法二：（分离常数法）由 ，可得值域小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。例11 求函数 的值域011解法一：（逆求法） 小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法。解法二：（换元法）设 ，则 01练习：y=；（y(-1，1)）.例13 函数 的值域解法一：（逆求法） 2解法二：（换元法）设 ，则 例13 求函数的值域解令，则 所以，值域 练习：1 、；解：x0，y11.另外，此题利用基本不等式解更简捷：(或利用对勾函数图像法)2 、0y5.3 、求函数的值域； 解：令0,则,原式可化为,u0，y，函数的值域是（-，.解：令 t=4x-0 得 0x4 在此区间内 (4x-)=4 ，(4x-) =0函数的值域是 y| 0y24、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是y|y3.解法2：函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+. 如图 5、求函数的值域解：设 则 t0 x=1-代入得 t0 y43.分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场。1求分段函数的定义域和值域例1求函数的定义域、值域. 【解析】作图, 利用“数形结合”易知的定义域为, 值域为. 2求分段函数的函数值例2已知函数求. 【解析】因为, 所以. 3求分段函数的最值例3求函数的最大值. 【解析】当时, , 当时, , 当时, , 综上有. 4求分段函数的解析式例4在同一平面直角坐标系中, 函数和的图象关于直线对称, 现将的图象沿轴向左平移2个单位, 再沿轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数的表达式为（ ）【解析】当时, , 将其图象沿轴向右平移2个单位, 再沿轴向下平移1个单位, 得解析式为, 所以, 当时, , 将其图象沿轴向右平移2个单位, 再沿轴向下平移1个单位, 得解析式, 所以, 综上可得, 故选A. 9解分段函数的不等式例11设函数, 若, 则得取值范围是（ ） 【解析1】首先画出和的大致图像, 易知时, 所对应的的取值范围是. 【解析2】因为, 当时, , 解得, 当时, , 解得, 综上的取值范围是. 故选D. 例