黑龙江省哈尔滨市第六中学学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析） (1)

哈尔滨市第六中学2018-2019学年度下学期期末考试高二理科数学第卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先解出集合，由集合基本运算的定义依次对选项进行判定。【详解】由题可得，；所以，则选项正确；故答案选D【点睛】本题考查一元二次方程、绝对值不等式的解法以及集合间基本运算，属于基础题。2.给定下列两个命题：“”为真是“”为真的充分不必要条件；“，都有”的否定是“，使得”，其中说法正确的是（）A. 真假B. 假真C. 和都为假D. 和都为真【答案】D【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义对进行判断，由全称命题的否定是特称命题对进行判断，从而得到答案。【详解】对，“”为真，则命题，都真，“”为真，则命题，至少一个为真，所以“”为真是“”为真的充分不必要条件，为真命题；对，全称命题的否定是特称命题，所以“，都有”的否定是“，使得”， 为真命题；故答案选D【点睛】本题考查命题真假的判定，属于基础题。3.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由抽象函数的定义域，对数的真数大于零，分母不为零，列出不等式，从而求出的定义域。【详解】由题可得： ，解得且，所以函数的定义域为；故答案选B【点睛】本题主要抽象函数与初等函数的定义域，属于基础题。4.已知函数，则的解集为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据分段函数的表达式，讨论当和时，不等式的解，从而得到答案。【详解】因为，由，得： 或；解得;；解得： ；所以的解集为；故答案选C【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。5.已知函数与分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件可得，与联立便可解出和，从而得到的值。【详解】；又函数与分别是定义在上的奇函数和偶函数；，；联立 ，解得 所以；故答案选C【点睛】本题考查奇函数、偶函数的定义，解题的关键是通过建立关于与的方程组求出和的解析式，属于中档题。6.设，则()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出，的范围，从而得到答案。【详解】根据指数函数图像可得，；由于，则 ，则；所以；故答案选C【点睛】本题考查指数、对数值的大小比较，解题的关键利用指数对数的运算法则求出值的范围，属于中档题。7.已知函数是定义在上的奇函数，且以2为周期，当时，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意可得：，代入中计算即可得到答案。【详解】由于；因为函数是定义在上的奇函数，且以2为周期；所以又因为，所以；故答案选A【点睛】本题主要考查函数的有关性质，奇偶性、周期性，以及对数的有关运算，属于基础题。8.已知是定义在上的函数，若且，则的解集为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，然后将转化为，即，根据单调建立关系，解之即可。【详解】令函数；由，则；所以在上单调递减；，则，转化为，即；根据在上单调递减，则；所以的解集为；故答案选D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用构造新函数解不等式，考查学生转化的思想，属于中档题。9.已知定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数，使不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对函数求导，分别求出和的值，得到，利用导数得函数的最小值为1，把存在实数，使不等式对于任意恒成立的问题转化为对于任意恒成立，分离参数，分类讨论大于零，等于零，小于零的情况，从而得到的取值范围。【详解】由题可得，分别把和代入与中得到 ，解得：； ，即当时，则在上单调递减；当时，则在上单调递增； 要存在实数，使不等式对于任意恒成立，则不等式对于任意恒成立，即不等式对于任意恒成立；（1）当时，显然不等式不成立，舍去；（2）当时，不等式对于任意恒成立转化为对于任意恒成立，即，解得：；（3）当时，不等式对于任意恒成立转化为对于任意恒成立，即，解得：；综述所述，实数的取值范围是故答案选C【点睛】本题考查函数解析式的求法，利用导数求函数最小值，分类参数法，考查学生转化的思想，分类讨论的能力，属于中档题。10.已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作函数图像，方程有4个不同的实数根，从而得到，的范围，代入化简，再利用函数的单调性即可得到取值范围。【详解】作函数的图像如下：由图可知：，故 ；由在单调递减，所以的范围是 ，即的取值范围是；故答案选B【点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查函数单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键。11.已知函数，则关于的不等式解集为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题可得为偶函数，利用导数可得的单调区间，利用函数的奇偶性和单调性转化不等式求解即可。【详解】函数的定义域为，所以在上为偶函数；当时，则，由于当时，则在上恒大于零，即在单调递增；由在上为偶函数，则在单调递减；故不等式等价于，解得;所以不等式解集；故答案选A【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解函数不等式，考查学生转化的思想，属于中档题。12.已知函数，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出导函数，再分别讨论，的情况，从而得出的最大值【详解】由题可得：；（1） 当时，则，由于，所以不可能恒大于等于零；（2） 当时，则在恒成立，则函数在上单调递增，当时，故不可能恒有；（3） 当 时，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，则，对任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，则在上所以单调递增，在上单调递减，所以；所以的最大值为；综述所述，的最大值为；故答案选B【点睛】本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题。第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，则在处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求导数，令，可得，求出，即可求出切线方程。【详解】；又；在处的切线方程为，即；故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题。14.若对任意，都有恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据（）代入中求得的最大值，进而得到实数的取值范围。【详解】因为，所以（当且仅当时取等号）；所以，即的最大值为，即实数的取值范围是 ；故答案为： 【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解题方法，解题关键是利用基本不等式求出的最大值，属于中档题。15.若，则实数的值为_.【答案】1【解析】【分析】根据题意找出的原函数，然后根据定积分运算法则，两边进行计算，求出实数的值【详解】由于；所以，即；故答案为：1【点睛】本题考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题，16.设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由任意的，存在，使得，可得在的值域为在的值域的子集，构造关于实数的不等式，可得结论。【详解】由题可得：，令，解得：，令，解得：，令，解得： 所以在上单调递增，在上单调递减，故在的值域为；，所以在为偶函数；当时，由于，则，由，即当时，故函数在上单调递增，在单调递减，故在值域为；由任意的，存在，使得，可得在的值域为在的值域的子集，则 ，解得：；所以实数的取值范围是【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，解题的关键是根据条件分析出在的值域为在的值域的子集，属于中档题。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知函数（）.（）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；（）当时，证明：.【答案】（）；（）见解析【解析】【分析】（）由曲线在点处的切线平行于轴，可得，从而得到答案；（）令函数，要证，即证，利用导数求出的最小值即可。【详解】（）由题可得; ，由于曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得：；（）当时，要证明，即证：；令，求得；令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，则，即，从而。【点睛】本题考查导数的几何意义，以及导数在研究函数中的应用，本题解题的关键是构造函数，利用导数求出函数的最小值，属于中档题。18.设（1）解不等式；（2）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）通过讨论的范围去绝对值符号，从而解出不等式。（2）恒成立等价于恒成立的问题即可解决。【详解】（1）令当时当时当时综上所述（2）恒成立等价于（当且仅当时取等）恒成立【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式以及恒成立的问题，在解绝对值不等式时首先考虑去绝对值符号。属于中等题。19.已知曲线的参数方程为，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；(2)若射线与曲线交于两点，与直线交于点，射线与曲线交于两点，求的面积.【答案】（1） ；（2）【解析】【分析】（1）首先根据曲线的参数方程先化为直角坐标方程，再把直接直角坐标方程化为极坐标方程。根据即可把直线化为直角坐标方程。（2）把射线带入曲线和直线的极坐标方程得出点的坐标，把射线带入曲线的极坐标得出点的坐标。根据即可求出面积。【详解】（1）因为曲线的参数方程为所以所以曲线的极坐标方程为：又直线的极坐标方程为所以直线的直角坐标系方程为综上所述：（2）由（1）知曲线的极坐标方程为所以联立射线与曲线及直线的极坐标方程可得所以联立射线与曲线的极坐标方程可得所以所以【点睛】本题主要考查了参数方程、直角坐标方程、极坐标方程直接的互化，主要掌握。属于基础题。20.已知函数.（）讨论函数的单调性；（）当时，在定义域内恒成立，求实数的值.【答案】（）当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为（）【解析】【分析】（）求出函数的的定义域以及导函数，分类讨论，情况下导数的正负，由此得到答案；（）结合（）可得函数的最小值，要使在定义域内恒成立，则恒成立，令，利用导数求出的最值，从而得到实数的值。【详解】（）由题可得函数的的定义域为，；（1） 当时，恒成立，则单调递增区间为，无单调递减区间（2） 当时，恒成立，则单调递增区间为，无单调递减区间；（3） 当时，令，解得：，令，解得：，则单调递增区间为，单调递减区间为；综述所述：当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；（）由（）可知，当时， 单调递增区间为，单调递减区间为，则；所以在定义域内恒成立，则恒成立，即，令，先求的最大值：，令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以的单调增区间为，单调减区间为，则 所以当时，恒成立，即在定义域内恒成立，故答案为【点睛】本题主要考查函数的单调性，以及利用导数研究函数的最值，考查学生转化的思想和运算求解能力，属于中档题。21.已知函数,.（）若是函数的一个极值点，求实数的值及在内的最小值；（）当时，求证：函数存在唯一的极小值点，且.【答案】（）；（）见解析【解析】【分析】（）由已知条件的导函数，以及，从而求出实数的值，利用导数求出函数在内的单调性，从而得到在内的最小值（）由题可得,令，要证函数存在唯一的极小值点，即证只有唯一根，利用导数求出的单调区间与值域即可，且由零点定理可知，由，可得，代入中，利用导数求出在内的最值即可证明。【详解】（）由题可得：，则，是函数的一个极值点，即，解得：，经检验，当时，是函数的一个极值点；当时，令，解得：或，当时，、的变化如下表：所以当时，有最小值，（）当时，令，则，由于恒成立，所以恒大于零，则在上单调递增，由于，根据零点定理，可得存在唯一的，使得，令，解得：，当或时，即的单调增区间为，当时，即的单调减区间为，函数存在唯一的极小值点，且，则；，则，令，解得：或，当时，则在上单调递减，则，所以【点睛】本题考查导数在函数最值以及极值中的运用，考查学生转化的思想，综合性较强，有一定难度。22.已知函数有两个不同极值点，且.（）求实数的取值范围；（）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）把函数有两个不同极值点转化为有两个不同的实数根，分类讨论，时，值域情况，从而得到实数的取值范围；（）显然 ， 恒成立，只需讨论的情况，由于，为方程的两个根，从而有，变形可得：所以要使恒成立等价于恒成立，令，利用导数讨论的值域即可。【详解】由题可得的定义域为，函数有两个不同极值点等价于有两个不同的实数根，令 ，当时，则在定义域内单调递增，不可能存在两个根使得，舍去；当时，则在定义域内单调递增，不可能存在两个根使得，舍去；当时，令，解得：，令时，解得： ，所以的增区间为，减区间为，则；由于当时，当时，所以要使由两个根，则，解得：；综述所述，实数的取值范围为（）（1）由于，所以当时，显然恒成立，下讨论的情