黑龙江省哈尔滨市第六中学学年高二数学下学期期中试题文（含解析）

哈尔滨市第六中学2018-2019学年度下学期期中考试高二文科数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.设，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对函数进行求导，令导函数的函数值等于3，求出的值.【详解】, ，故本题选C.【点睛】本题考查了求一个函数的导数，同时也考查了已知导数的函数值，求自变量的值，解决问题的关键是正确求出导数.2.曲线在点处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对函数求导，求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式.【详解】， ，所以切线方程为，故本题选B.【点睛】本题考查了求曲线的切线方程，同时考查了导数的几何意义.解题的关键是正确地求出导数.3.已知，那么下列不等式中一定成立的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据a，b的符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可【详解】若，则，则，故A不成立；不一定成立，如a=-5,b=6,故B不成立；，,故C不成立，则，成立，故D正确，故选：D【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键比较基础4.已知函数，则函数的单调递减区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对函数进行求导，然后求出导函数大于零时，自变量的取值范围，别忘记定义域.【详解】函数的定义域为，当时，函数单调递减，即而，解不等式得：，故本题选D.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间的问题，解题的关键是正确求出导数和正确解出不等式.5.已知函数，函数的最小值等于（ ）A. B. C. 5D. 9【答案】C【解析】【分析】先将化为，由基本不等式即可求出最小值.【详解】因为，当且仅当，即时，取等号.故选C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的最值问题，需要先将函数化为能用基本不等式的形式，即可利用基本不等式求解，属于基础题型.6.若函数在内单调递减，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，让导函数在内，恒小于等于零，可以化为：在内恒成立，构造新函数，求出新函数的值域，就可以求出实数的取值范围.【详解】在内恒成立，即在内恒成立，设所以在内是单调递增，因此，要想在内恒成立，只需即可，故本题选C.【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数问题.解决此类问题的关键是通过转化变形，构造新函数，利用新函数的值域，求出参数的范围.7.若函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，让导函数等于零，通过方程解的情况，判断极值点问题.【详解】,当时，时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以是函数的极值 点，符合题意；当时，要想有极值点，只需，所以且，综上所述实数的取值范围是，故本题选A.【点睛】本题考查了已知函数的极值情况，求参数问题.解决此类问题的关键是转化为方程有无实数解的问题.8.已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）A. 是函数的极小值点B. 是函数的极大值点C. 是函数的极大值点D. 函数有两个极值点【答案】C【解析】【分析】通过导函数的图象可知；当在时，；当在时，这样就可以判断有关极值点的情况.【详解】由导函数的图象可知：当在时，函数单调递增；当在时，函数单调递减，根据极值点的定义，可以判断是函数的极大值点，故本题选C.【点睛】本题考查了通过函数导函数的图象分析原函数的极值点的情况.本题容易受导函数的单调性的干扰.本题考查了识图能力.9.若函数在区间上是减函数,则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出f（x）的导函数，令导函数小于等于0在区间（1，+）上恒成立，分离出a，求出函数的最大值，求出a的范围【详解】f（x）在区间（1，+）上是减函数，在区间（1，+）上恒成立ax2在区间（1，+）上恒成立x21a1，经检验，等号成立故选：D【点睛】本题考查导数与函数的单调性，解决已知函数的单调性求参数范围问题常转化为导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立求参数范围问题常分离参数转化为求函数的最值，是基础题10.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，是导函数等于零的一个根，这样可以求出的值，进而求出函数的极小值点.【详解】,是函数的极值点，所以是的根，代入方程中，得，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，因此，是函数的极小值点，故本题选A.【点睛】本题考查了已知函数极值的情况，求参数，进而再研究函数的极值问题.解决此类问题的关键是正确求出导函数，利用极值的定义进行分析判断.11.若函数仅在处有极值，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求导函数，要保证函数仅在处有极值，必须满足在两侧异号【详解】由题意，要保证函数仅在x0处有极值，必须满足在x0两侧异号，所以要恒成立，由判别式有：，a的取值范围是故选：A【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题12.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数，根据导函数，求出函数的单调减区间，只要这个区间包含区间即可，求出实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，当时，所以函数此时单调递减，也可以说当时，函数单调递减，函数在区间上单调递减，只需满足条件：，故本题选B.【点睛】本题考查了利用导数求单调区间的问题，同时考查了集合之间的子集关系.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案写在答题卡上相应的位置）13.曲线在点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为_【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，进而可以求出点处的切线的斜率，利用点斜式求出直线方程，让横坐标为零，求出纵坐标，再让纵坐标为零，求出横坐标，最后求出围成三角形的面积.【详解】,所以在点处的切线方程为，当当，切线与两坐标轴围成三角形的面积为.【点睛】本题考查了导数的几何意义、求曲线切线问题以及切线与两坐标轴围成三角形的面积问题.14.求函数的单调增区间是_【答案】或【解析】【分析】求的导函数，利用，可得函数的单调递增区间【详解】解：由，得令，可得故函数的单调递增区间是故答案为或.【点睛】本题考查导数知识的运用，函数求导，考查函数的单调性，属于基础题15.函数在闭区间 上的最大值为_【答案】3【解析】【分析】先求出函数的导数，在闭区间 上，利用导数求出函数的极值，然后与进行比较，求出最大值.【详解】，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以是函数的极大值点，即，所以函数在闭区间 上的最大值为3.【点睛】本题考查了闭区间上函数的最大值问题.解决此类问题的关键是在闭区间上先利用导数求出极值，然后求端点的函数值，最后进行比较，求出最大值.16.设是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为_【答案】.【解析】【分析】由，构造新函数，求导，利用已知的不等式，可以判断出函数的单调性，从而利用单调性求出不等式的解集.详解】，构造新函数，且，不等式变为，由已知，所以是上的减函数，因为，所以，因此不等式（其中为自然对数的底数）的解集为.【点睛】本题考查了通过构造函数求解不等式的解集问题.解决本题的关键是根据所求不等式的特征进行恰当的变形，构造新函数，利用已知的不等式，可以判断出新函数的单调性，从而解决本问题.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.已知在与时都取得极值（1）求的值；（2）若，求的单调区间和极值.【答案】（1）；（2）增区间：；减区间：，极大值为；极小值为【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，由题意可知：，是的两个根，利用根与系数的关系可以求出的值；（2）根据可以求出的值，利用导函数可以求出单调区间及极值.【详解】（1），由题意可知：，是的两个根，由根与系数的关系可知：.（2）因为 所以，由（1）可知当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，因此是极大值点，极大值为，是极小值点，极小值为，综上所述; 增区间：；减区间：，极大值为；极小值为.【点睛】本题考查了已知函数的极值求参数问题.考查了利用导数求函数的单调区间及极值问题.18.在直角坐标系中，曲线的参数方程为与曲线交于两点.（1）求曲线的普通方程；（2）若点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用加减消元法，进行消参，化为普通方程；（2）点在曲线上，求也就是求两点的距离，解出交点坐标，利用两点间距离公式直接求解.【详解】（1），两方程相减得，；（2）设，.【点睛】本题考查了参数方程化普通方程、以及求椭圆弦长问题.本题也有如下的解法：曲线的参数方程为，显然过点，倾斜角为的直线，将直线的参数方程代入椭圆方程中，得，=，当然这种方法的易错点是把算成，没有弄懂参数的意义.19.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线：与曲线相交于，两点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）先由参数方程得到普通方程，再由普通方程即可得到极坐标方程；（2）先设，.，以及直线的极坐标方程为，代入（1）中的结果，得到，由韦达定理，以及，即可求出结果.【详解】解：（1）由（为参数），得，即.故的极坐标方程为.（2）设，直线的极坐标方程为，代入，得，所以，.因为，所以，则，则.当时，取得最大值，且最大值为.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.20.已知函数 （I）求不等式的解集；（II）若，有恒成立，求的取值范围.【答案】() ； () 【解析】【分析】()对分类讨论，根据图像，求出的解集.()由和图像，结合的几何意义，得到的取值范围.【详解】()由题得， 则结合的图像可得，解得；，解得.不等式的解集为. ()由题得， 又，有恒成立，即图像需恒在图像的上方由几何意义知，的取值范围为 【点睛】本题考查绝对值函数，绝对值不等式求解，以及绝对值函数的图像，属于简单题.21.已知函数（1）求函数在区间上的最小值；（2）讨论在区间上的极值.【答案】（1）；（2）当时，无极值；当【解析】【分析】（1）对函数进行求导，然后利用导函数判断上单调性，求出极值，最后求出最小值；（2）利用导数求出函数的单调区间，根据区间的端点值对的取值，进行分类，在每种情况下，判断函数是否具有极值，没有，说明理由，有求出.【详解】（1），当时，所以函数单调递减；当时，所以函数单调递增，因此是极小值点，极小值为，所以函数上的最小值为；（2），所以当时，函数函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数函数单调递增，当时，函数单调递减，所以函数没有极值；当时，当时，所以函数单调递减；当时，所以函数单调递增，因此是极小值点，极小值为.【点睛】本题考查了函数在开区间上的最值问题、以及在开区间上的极值问题.考查了分类讨论思想.22.已知函数（1）当时，求在处切线方程；（2）讨论的单调区间；（3）试判断时的实根个数说明理由.【答案】（1）；（2）当时，函数增区间是，减区间是；当时，函数的增区间是，减区间是；当时，函数的增区间是；当时，函数的增区间是，减区间是;（3）只有一个零点.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，把代入，代入导函数中，求出切线的斜率，求出切线方程；（2），根据的正负性以及之间的大小关系，进行分类，确定的不同区间，求出不同区间下，函数的单调性；（3）由（2）可知：当时，函数的增区间是，减区间是，求出函数的极大值、极小值，再判断出当时，由此可以判断出函数的零点的情况.【详解】（1），当时，所以在处切线方程为，化简得：,即.（2）,函数的定义域为，当时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；当时，当时