第二章对数教材分析人教

第二章 对数教材分析http:/www.DearEDU.com1本节知识结构本小节内容包括对数的定义、对数式与指数式互化、对数的运算性质对数函数的图像与性质对数的定义对数与指数的互化对数的运算性质指数函数的图像和性质 2目的要求理解对数的概念，能够进行对数式与指数式互化，掌握对数的运算性质3教学任务分析 本小节的重点是对数的定义，对数的运算性质，难点是对数的概念 （1）课本以国民生产总值增长的实际问题引入：如果已知每年平均增长率（增长8），求10年后国民生产总值是原来的多少倍该问题化为 y10810，这是知道底数和指数，求幂值问题 如果已知每年平均增长率（增长8）和若干年后国民生产总值是原来的2倍，求需经过多少年该问题化为 1082，这是知道底数和幂值，求指数，是上述问题的逆问题，即本节的对数问题 对数的引入也可以利用在指数部分曾经学习过的“复利问题”，计算需要经过多少期，本金和翻一番或者翻两番，这也是知道底数与幂值求指数的问题 对数的定义还可以从对式子aN的研究引入：这里涉及3个量，只要知道其中2个，就可以求出另一个，因此有3种组合，分别是根式、指数与对数 由此得出对数定义：logNb（a0，a1）对数式与指数式的关系及相应各数的名称列表如下：式 子名 称abN指数式aN底数指数幂值对数式logNb底数对数真数 教学中要抓住指数与对数的相互关系这一关键，结合实际问题引入，有利于学生注意知识之间的相互联系以及培养学生应用数学的意识 （2）引进对数定义后，要说明两点： 要让学生弄清楚对数式logNb的含义：明确a，N，b相对于指数式abN是什么数，并找出它们之间是什么关系；其次要掌握各数的名称和式子的读法 注意对数式logNb中字母的取值范围对数定义中为什么规定a0，a1？因为若a0，则N为某些值时，b不存在，如 b log8不存在；若 a 0，N不为 0时， b不存在，如 log02不存在，N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a1，N不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即 log11有无数多个值这样，就规定了a0，a1 在logNb中，必须N0，这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数因而abN中N总是正数因此，要特别强调：零和负数没有对数 教学中，也可以用计算器计算真数为负数的情况，计算器会提示出错信息，主要为了加深对“零和负数没有对数”这一结论的印象 由对数的定义可以直接得到对数的两个性质： log1 0， loga1（a0，a1） 这两个十分简单的性质以后经常用到，所以要求学生掌握 （3）一般对数的两个特例：常用对数lgN和自然对数lnN 对数logN（a0，a1），当底数a10时，叫做常用对数，简记作lgN 对数logN（a0，a1），当底数ae（其中e2718 28，为一个无理数）时，叫做自然对数，简记作lnN因为教材不要求利用对数进行计算和进行对数式的化简，所以对于有关这两个对数的其他内容不宜多讲，教材中只让学生掌握这两个对数的定义和它们的符号即可也可以用计算器计算几个底数为e的对数值，进一步了解自然对数（4）对数的运算法则是本小节的重点之一其主要目的是使学生能够正确、熟练地使用对数的运算法则进行有关对数的计算或者化简，因此把重点放在运算法则的产生过程，记忆对数的运算法则上，而不是拘泥于严密的逻辑证明从以往的教学实践看，学生对对数的运算法则的记忆容易想当然，比如错误的以为 log（MN） logMlogN； log（MN） logMlogN； log； logM（logM）产生这种错误的原因是将积、商、幂的对数与对数的积、商、幂混淆起来了，把对数符号当作表示数的字母进行运算了另一方面的原因是不了解知识的发生过程，因此这节课也应该注意让学生在自己的研究中获取正确的结论，具体教学设计见“教学设计案例”（5）由于用计算器计算只是发现与验证lg（MN）lgMlgN与lg（）lgMlgN这两个数学结论的成立，要真正得到确认还需要加以证明小结对数的运算性质，并改底数为a，即对数有运算性质：log（MN）logMlogN；log（）logMlogN证明过程中，注意使用“分析法”，比如性质的证明如下：证明：要证明loga（MN） logaMlogaN，只要证明MNa（对数的意义），而a a a（指数运算法则），又根据对数恒等式aM，aN，即证明MNMN，这显然成立以上过程是可逆的，所以结论成立这样证明更贴近学生思维的最近发展区，比较自然，容易接受 性质证明如下： 设 logaMp，logaN q， 由对数的定义可以得 Ma，Na， a， logapq 即 loga logaMlogaN要求学生理解推导对数运算法则的依据和过程，并会用数学语言叙述这些法则，从而进一步理解、记住这些法则至于性质的证明，教师要引导学生利用对数与指数对立统一的辨证关系，把对数问题化归为指数问题来解决教学上可以首先引导学生复习指数的运算法则： amanamn（m，nZ）； amanamn（m，nZ）； （am）namn（m，nZ）； a 在这些法则中，要强调括号中m，nZ的限制条件 将指数与对数的运算性质进行对照加以复习和巩固指数与对数对比表式子名称a幂的底数b幂的指数N幂值a对数的底b以a为底的N的对数N真数运算性质（6）性质可以由性质推出，还可以用计算器加以验证对于n不是正整数时，也可以通过计算器验证的方法，验证性质对于一般情况也成立 （7）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围：M0，N0，a0，a1要注意，只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时等式才能成立 例如，log2（3）（5 ）是存在的，但log2（3），log2（5）都不存在，因此，不能得出： log2（3）（5 ） lo