对流扩散方程

徐 州 工 程 学 院课 程 设 计 报 告课程名称 偏微分方程数值解 课题名称 对流扩散方程 的迎风格式的推导和求解 专 业 信息与计算科学 班 级 10信计3 姓名学号 指导教师 杨 扬 2013年 5 月 23 日1、 实验目的： 进一步巩固理论学习的结果，学习双曲型对流扩散方程的迎风格式的构造方法，以及稳定的条件。从而进一步了解差分求解偏微分方程的一些基本概念，掌握数值求解偏微分方程的基本过程。在此基础上考虑如何使用Matlab的软件进行上机实现，并针对具体的题目给出相应的数值计算结果。二、实验题目：其中a1=1,b1=2,。 用迎风格式求解双曲型对流扩散方程,观差分解对真解的敛散性(三、实验原理： 1、用迎风格式求解双曲型对流扩散方程，迎风格式为：若令则迎风格式可整理为：2、稳定条件：（*）四、数值实验的过程、相关程序及结果：本次的实验题目所给出的边界条件是第一边界条件，直接利用所给的边界条件，我们可以给出界点处以及第0层的函数值，根据a1的正负性，使用相应的或者式，求出其他层的函数值。误差转化成图的形式，并输出最大值。针对三种不同的输入对应输出结果 ：A: a1=1;b1=2;a=1;b=1;h=0.1;k=0.001;结果一：1.误差最大值：e =7.9402e-0042.误差图如下图所示：B: a1=-1;b1=2;a=1;b=1;h=0.1;k=0.001;结果二：1.误差最大值：e = 0.06822.误差图：C: a1=-1;b1=-0.1;a=1;b=1;h=0.1;k=0.001;结果三：1. 误差最大值：e = 6.2221e+0052. 误差图：五、实验结论： 通过上机实现，进一步直观了解流扩散方程的稳定具有很强的条件性，只要在a1,b1，h和满足（*）式时才是稳定的，如结果一、二，否则会出现结果三的情形，误差相当大。本次实验，熟悉并掌握了差分格式的一般构造方法，理清了具体的步骤，提高了利用计算机解决问题的能力。附：Matlab源代码：1. function z=ft(x)%求下边界z=exp(x/2);2.function z=fx1(t)%求左边界z=exp(-t);3.function z=fx2(t)%求右边界z=exp(1/2-t);4.function z=f(x,t)%求右端函数z=-exp(x/2-t);5 .function z=fu(x,t)%求真解z=exp(x/2-t);6. function X,T,z=upwindL(a1,b1,a,b,h,k)%用迎风格式求解 upwindL(1,2,1,1,0.1,0.1)x=0:h:a;t=0:k:b;T,X=meshgrid(t,x);m=length(x);n=length(t);r1=a1*k/h;r2=b1*k/h2;uu=zeros(m,n);%储存数值解z=uu;%储存误差for i=1:m%求下边界 uu(i,1)=ft(x(i);endfor j=2:n%求左右边界 uu(1,j)=fx1(t(j); uu(m,j)=fx2(t(j);end%迎风格式求内点，从下往上if(a10)for j=2:n for i=2:m-1%从左往右 uu(i,j)=(1-r1-2*r2)*uu(i,j-1)+(r1+r2)*uu(i-1,j-1)+r2*uu(i+1,j-1)+k*f(x(i),t(j-1);%求数值解 z(i,j)=abs(uu(i,j)-fu(x(i),t(j);%求误差 end endelsefor j=2:n for i=2:m-1%从左往右 uu(i,j)=(1+r1-2*r2)*uu(i,j-1)+(r2-r1)*uu(i+1,j-1)+r2*uu(i-1,j-1)+k*f(x(i),t(j-1);%求数值解 z(i,j)=abs(uu(i,j)-fu(x(i),t(j);%求误差 end endend%主函数，用于输出7. X,T,z