第二章映射教案示例人教

第二章 映射教案示例http:/www.DearEDU.com1本节知识结构2教学目的与要求 （1）使学生学习了映射的概念及表示方法后，能在给定的两个集合之间建立一些简单的映射，特别是通过数轴、区间和直角坐标系等工具，能建立给定的简单的数集到数集、数集到点集、点集到点集的映射（2）通过象、原象等概念的学习，让学生认识到映射是有序的、有方向的 能理解看电影、查地图、编座位等活动中的映射背景，并能说出这些活动所对应的映射的象与原象（3）通过学习一一映射，加深对映射的理解，明确一一映射是一种特殊的映射通过映射与一一映射的比较，使学生进一步体会事物的特殊性与一般性的关系，能解释“在学校学生管理中，尽管每个学生都有姓名，但几乎每个学校都给学生唯一学号进行管理”这种做法的合理性，并由此认识到映射不仅仅是一个数学概念，更重要的是一种数学方法（4）通过对“无穷大”的学习，让学生去体会“宇宙”、“时间”这类事物的无限性（5）能正确使用区间表示数集3教材分析与教学建议： （1）本小节约两课时，可以第一课时讲区间与映射概念，第二课时讲一一映射的概念（2）本小节的教学重点是映射的概念可能产生的难点，是如何理解映射中的对应法则，或用映射去解释一些现象 （3）本小节开始回顾第一章中集合的有关知识，第一章较为系统地介绍了关于集合的初步知识，主要有元素与集合间关系的表示方法，即属于或不属于；两个集合之间的关系，即包含或不包含，这些是本章学习映射的预备知识，教学时可适当引导学生进行简要的回顾，以便为本节学习排除障碍 （4）“区间”与“无穷大”是本节中的两个概念 区间是数学中常用的术语和符号，要求学生记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其含义关于区间的含义、名称、符号及几何表示可见教材中的表格为帮助理解有困难的学生加深对区间的印象，可以安排下列活动：利用计算机或计算器，在直角坐标系的横轴上取定区间1，3（对应线段AB），设P为线段AB上任意一点，测量出点的横坐标x，拖动点P，观察横坐标x的变化（如图21），让学生得出结论：1x3，且x的个数是数不完的（称为无穷多个） 当然，这里对图形计算器或计算机所引起的数据的离散性应给予注意图21a，b、（a，b）、（a，b、a，b等中的数a和数b称为区间的端点：a为左端点，b为右端点，必有ab，并称ba为区间长度教学区间概念时，还应提醒学生思考以下问题：在直角坐标系下，记号（2，3）可以用来表示区间，也可以用来表示一个点，具体使用时要加以区分；记号（3，2）能表示直角坐标系下的点，但不能表示区间 为什么？这样，某些以实数为元素的集合就有三种表示方法：集合表示法、不等式表示法和区间表示法 例如，大于3而小于7的实数的集合可以表示为如下三种形式： x|3x7， 3x7， （3，7） 对于具体问题，教材并不要求固定采用哪种表示方法，可根据习惯或简明的原则来选用无穷大是个符号，不是一个数关于用，作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间，它的定义和符号如下表定义符号x|x（，）x|axa，x|ax（a，）x|xb（，bx|xb（，b） （5）映射是一种特殊的对应因此，本节开始先复习初中已经遇到过的对应： 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点p和它对应； 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应为了让学生对“对应”有一个更直观的认识，可以安排如下活动：利用计算机或计算器，在直角坐标系中画出一个点A，然后测量出坐标，随意拖动点A，观察点A的坐标变化，让学生对“坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应”有一个经亲自实践获得的直观印象 图22 上面的活动，不仅让学生对“对应”这个抽象概念有一个直观印象，也为学生领会映射的本质提供基础通过上述活动，使学生对“对应”有如下认识：“对应”涉及两个集合；“对应”有方向当然，教学中还可以引导学生自己举出一些例子（6）课本先以图21所示的四种不同的对应作为具体例子，然后引入映射的概念 教学时，可让学生结合图21回答以下问题： 四个图中，集合A中所有元素在集合中都有对应元素吗？ 四个图中，集合A中有元素在集合B中有不只一个元素与其对应的是哪几个图？ 四个图中，满足：“集合A中每一个元素在集合B中都有唯一元素与其对应”的是哪几个图？ 请你用自己的语言描述一下是个对应的特点通过上述问题的思考，给出映射的概念，并让学生进一步思考以下问题：对于映射，集合B中能否有元素在集合A中没有元素与其对应？对于映射，集合B中能否有元素在集合A中有不只一个元素与其对应？通过上述问题的思考，让学生明白：“一对一”、“多对一”的对应都是映射，但“一对多”的对应不是映射；映射可以是“到上的”（ 即是满射，关于满射的概念不必向学生介绍），也可以不是“到上的”； 映射由三个要素组成：两个集合与一个对应法则； 映射是有方向的，从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是不同的（7）教材是通过有限集给出映射的概念的，但在具体应用中，无限集之间的映射是常见的 除教材给出的例子外，还可以让学生自己举一些例子 对图23中的映射，应利用图形计算器或计算机创设学生活动情境，让学生通过拖动点R去认识从线段MN上的点所组成的集合到半圆上的点所组成的集合B的映射 23教材之所以安排这样一个映射，是希望教师在教学时注意以下问题：改变教学方式，让学生主动参予认知过程；映射是抽象概念，应多借助技术手段使其具有直观性；加深学生对无限集之间的映射的理解；体会映射中的对应法则的多样性；便于给出“象”与“原象的”概念；为学习一一映射作铺垫 （8） 对于从集合A到集合B的映射f，在结合图23给出象与原象两个概念后，应让学生认识到以下几点： A中的每一个元素a在集合B中都有唯一象，同时a叫做在集合A中的原象设A0，1，2，B1，2，对应法则是“取倒数”，这时由于集合A中的元素0在集合B中无象，所以A，B，f不能构成映射集合A中的不同元素在集合B中可有相同的象 例如，教材图21（3）所表示的映射就属于这种情况不要求集合B中每一个元素都有原象，即B中可能有些元素不是集合A中的元素的象例如，已知集合Q，R，对应法则f是“加”；它使R中的元素a和Q中的元素a对应这时虽然R中有许多元素，如，1，等，都不是Q中任何元素的象，但Q，R，f三者之间符合构成映射的条件，所以f：QR是从Q到R的一个映射 （9）注意教材所用记号f：AB，表示集合A到集合B的映射其中对应法则f的具体内容，用汉字叙述，例如“求正弦”、“开方”、“乘以2”等，这样处理，对于高中学生来说，比较容易接受（10）一一映射是一种特殊的映射，也是一种重要的数学方法 教学中，可创设这样的教学情境：让学生观察教材中图21（2）、（3）、（4）所给出的三个映射，回答（2）中的映射与（3）、（4）中的映射有何不同？映射（2）是离散型一一映射的例子，并且是在有限集之间给出的，只要学生能给出“一对一”或“集合B中每一个元素在集合A中都有原象”的描述即可提供教材中图23（1）给学生，让学生在图形计算器或计算机上移动点R，观察点R与点P的坐标变化，用区间写出点R的横坐标的集合A（即0，3）和点P的纵坐标集合B（即 0，2），并判断图中的对应法则f是不是映射让学生自己随意给出集合A（即区间0，3）上的一组数据，说出这组数据通过对应法则f在集合B0，2上的象让学生自己再随意给出集合B（即区间0，2）上的一组数据，说出这组数据通过对应法则f在集合A0，3上的原象提问学生：集合A上的每一个元素，通过对应法则f在集合B上是否有象？若有象，有多少个象？集合B上的每一个元素，通过对应法则f在集合A上是否有原象？若有原象，有多少个原象？让学生复述这种映射的特点，并仿照映射的定义自己给出一一映射的定义比较一一映射与映射，说出它们的相互关系对于映射f，集合A中全体元素的象集为C，试问学生：C是否等于B？对于一一映射f而言，C是否等于B？对教材中图21（2），让学生观察集合A与集合B中的元素是否一样多？然后再让学生观察并回答教材中图23（1）中的集合A与集合B中的元素是否一样多？上述问题，目的是想让学生初步认识到：两个集合（特别是无限集）之间能建立一一映射是判断两个集合元素一样多的重要方法 当然，尽管学生认为教材图23（1）中的线段MN比线段OM长，却要认为集合A与集合B的元素一样多，这确实不好理解，但这里不宜展开，不要向学生介绍集合的“势”的概念 这种问题的提出，可作为培养学生探索精神的一种尝试，也可为学生今后的学习埋下种子（11）这一节所安排的“数学实验”，与教材图23（1）所示的一一映射相呼应，目的是进一步培养学生的探索精神 对学有余力的学生，还可以多提供一些问题给他们思考，如下面的问题：在A