数学人教版一年级必修1 方程的根及函数的零点

3.1函数与方程,思考：你能求出以上三个方程的根吗？,九章算术,我国古代数学家已经比较系统的解决了部分方程的求解问题，如九章算术就给出了求一次方程、二次方程和三次方程的解的具体方法,公元50-100年,秦九韶1208年-1261年,11世纪，北宋数学家贾宪给出三次及三次以上方程的解法.,13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法.,人们希望像解低次方程那样去求解高次方程，但经过长期努力，都无果而终，1824年挪威天才数学家阿贝尔成功证明了五次及以上的一般方程没有根式解。,阿贝尔N.H.Abel1802年-1829年,【例1】求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次函数图像，观察二者有何关系？,思考1：你知道方程对应的函数怎么找吗？,作函数y=x2-2x+a的图像,思考2：函数y=x2-2x+a的图像与x2-2x+a=0的根有何关系？,函数的图像,方程,函数,方程的根,函数图像与x轴交点,无实数根,(-1,0),(3,0),(1,0),无交点,思考3：一般地，一元二次方程的根与其对应的二次函数图像与x轴的交点之间的关系如何？,结论：一元二次方程的根就是其对应的二次函数图像与x轴的交点的横坐标。,方程的根：,方程：,函数图像：,函数：？,零点,实数根(解),与x轴交点的横坐标,3.1.1方程的根与函数的零点,1、函数零点的定义：,对于函数y=f(x),我们把使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zeropoint),函数的零点：,对方程：,对函数图像：,对函数：,实数根，使得方程成立；,与x轴交点的横坐标；,使函数值为零的x的值。,2、方程的根与函数零点等价关系,函数y=f(x)有零点,方程f(x)=0有实数根,函数y=f(x)的图像与x轴有交点,思考1：函数f(x)=2x-1的零点是什么？函数f(x)=2x-1的函数值符号在零点的两侧如何变化？,思考2：函数f(x)=x2-2x-3的零点是什么？观察函数值符号在零点的附近如何变化？,函数值符号相反,x,y,o,x,y,o,f(-2)0；f(0)0；f(2)0；f(4)0.,0,.f(1)0,f(2)0,.f(1)0,f(2)0,.f(1)0,思考4：一般地，如果函数y=f(x)在区间a,b的图像是连续不断的一条曲线，那么在什么条件下，函数y=f(x)函数在区间(a,b)内一定有零点？,f(a).f(b)0,3、零点存在性定理,如果函数y=f(x)在区间a,b的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)0,那么,函数y=f(x)在(a,b)内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.,思考7：在零点存在性定理条件下，函数y=f(x)在区间(a,b)存在唯一的零点？,单调函数,思考5：如果函数在区间a,b有f(a).f(b)0，那么,函数y=f(x)在(a,b)内就一定没有零点？,不一定,不一定,思考8：函数y=lnx+2x-6是否有零点？如果有，有几个零点？零点的大致区间是什么？,由表可知，f(2)0,则f(2)f(3)0，这说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域(0,+)内是增函数，所以它仅有一个零点。,解：先用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图像：,思考：例中的函数零点是什么？,课堂练习：,(1)函数f(x)=x(x2-16)的零点为（）A(0,0),(4,0)B0,4C(4,0),(0,0),(4,0)D-4,0,4,(2)已知函数f(x)是的图像是连续不断的，有如下对应值表,A5B4C3D2,(3)函数f(x)=-x3-3x+5的零点所在的大致区间为（）A(-2,0）B(1,2)C(0,1）D(0,0.5）,那么函数在区间1,6上的零点至少有（）个.,D,C,B,课时小结：,1、函数零点的定义：,2、方程的根与函数零点的关系：,3、零点存在性定理：,对于函数y=f(x),我们把使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zeropoint),函数y=f(x)有零点,方程f(x)=0有实数根,函数y=f(x)的图像与x轴有交点,函数y=f(x)在区间a,b的图像是连续不断的；,f(a).f(b