黑龙江齐齐哈尔高三数学第一次模拟考试

齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】故选B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可【详解】Bx|x1；AB故选：A【点睛】考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义，属于基础题3.若满足不等式组则的最小值为（ ）A. -2B. -3C. -4D. -5【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值【详解】画出x，y满足不等式组表示的平面区域，如图所示：平移目标函数z2x3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）当目标函数过点A时，z取得最小值，z的最小值为22335故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查4.已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程【详解】抛物线y22px（p0）的焦点坐标为（1，0），则p2，又ep，所以e2，可得c24a2a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y故选：A【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地.在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论【详解】图标第一部分的面积为83124，图标第二部分的面积和第三部分的面积为329，图标第三部分的面积为224，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B【点睛】本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题6.设等差数列的前项和为，且，则的公差为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，设等差数列an的公差为d，分析可得4a1+6d3（2a1+d），a1+6d15，解可得d的值，即可得答案【详解】根据题意，设等差数列an的公差为d，若S43S2，a715，则4a1+6d3（2a1+d），a1+6d15，解可得a13，d2；故选：B【点睛】本题考查等差数列的前n项和，关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式，属于基础题7.运行如图程序，则输出的的值为（ ）A. 0B. 1C. 2018D. 2017【答案】D【解析】依次运行程序框图给出的程序可得第一次：，不满足条件；第二次：，不满足条件；第三次：，不满足条件；第四次：，不满足条件；第五次：，不满足条件；第六次：，满足条件，退出循环。输出2017。选D。8.已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f（0），求解即可；【详解】f （x）的定义域为（1，+），因为f（x）a，曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y2x，可得1a2，解得a1，故选：B【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力9.在长方体中，则直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由异面直线所成的角的定义，先作出这个异面直线所成的角的平面角，即连接DC1，再证明BC1D就是异面直线AB1与所成的角，最后在BC1D中计算此角的余弦值即可【详解】如图连接C1D，则C1DAB1，BC1D就是异面直线AB1与BC1所成的角又，=，AB=，=BD，在BC1D中，cosBC1D异面直线AB1与所成的角的余弦值为：故选：D【点睛】本题考查了异面直线所成的角的定义和求法，关键是先作再证后计算，将空间角转化为平面角的思想，属于基础题10.已知函数在上是单调函数，且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得 cos（），则 （，由此可得的取值范围【详解】函数f（x）cosxsinx2cos（x） 在（0，）上是单调函数，0又f（）1，即 cos（），则 （，（0，故选：C【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题11.已知半圆：，、分别为半圆与轴的左、右交点，直线过点且与轴垂直，点在直线上，纵坐标为，若在半圆上存在点使，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在RtPBT中，|BT|PB|t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案【详解】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|t|，由于BP与x轴垂直，且BPQ，则在RtPBT中，|BT|PB|t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值，t0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为，0）；故选：A【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于中档题12.在边长为2的菱形中，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DNAC，BNAC，可得出二面角BACD的平面角为BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥BACD为正四面体，可得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案【详解】如下图所示，易知ABC和ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DNAC，BNAC所以，BND是二面角BACD的平面角，过点B作BODN交DN于点O，可得BO平面ACD因为在BDN中，所以，BD2BN2+DN22BNDNcosBND，则BD2故三棱锥ABCD为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的，又正四面体的高为棱长的，故因此，三棱锥ABCD的内切球的表面积为故选：C【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知，则_【答案】【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式求得cos2a的值【详解】22，故答案为【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题14.的展开式中，的系数为_【答案】120【解析】【分析】根据（2+x）5的展开式的通项公式可得（1+x）（+x）5的展开式中，x3的系数【详解】（+x）5的展开式的通项公式为Tr+1 25-r xr，在（1+x）（+x）5的展开式中，x3的系数为40+80120，故答案为：120【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题15.已知函数是奇函数，且时，有，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】根据条件构造函数g（x）f（x）x，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可【详解】由x3f（x）x等价为3f（x）x0设g（x）f（x）x，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（x）f（x），则有g（x）f（x）（x）f（x）+xf（x）xg（x），即函数g（x）为R上的奇函数，则有g（0）0；又由对任意0x1x2时，有1，则1，1，10，即g（x）在0，+）上为减函数，g（x）是奇函数，g（x）在（，+）上为减函数，f（2）1，g（2）f（2）（2）1+23；g（2）3，g（0）f（0）00，则3f（x）x0等价为g（2）g（x）g（0），g（x）是减函数，0x2，即不等式x3f（x）x的解集为0，2；故答案为：0，2【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键16.已知数列的前项和满足，.数列的前项和为，则满足的最小的值为_【答案】7【解析】【分析】根据题意，将Sn3an2变形可得Sn13an12，两式相减变形，并令n1求出a1的值，即可得数列an是等比数列，求得数列an的通项公式，再由错位相减法求出Tn的值，利用Tn100，验证分析可得n的最小值，即可得答案【详解】根据题意，数列an满足Sn3an2，当n2时，有Sn13an12，可得：an3an3an1，变形可得2an3an1，当n1时，有S1a13a12，解可得a11，则数列an是以a11为首项，公比为的等比数列，则an（）n1，数列nan的前n项和为Tn，则Tn1+23（）2+n（）n1，则有Tn2（）2+3（）3+n（）n，可得：Tn1+（）+（）2+（）n1n（）n2（1）n（）n，变形可得：Tn4+（2n4）（）n，若Tn100，即4+（2n4）（）n100，分析可得：n7，故满足Tn100的最小的n值为7；故答案为：7【点睛】本题考查数列的递推公式及错位相减法求和，关键是分析数列an的通项公式，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知中，角所对的边分别是，的面积为，且，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知利用三角形面积公式可得tanA2，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，cosA，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosB的值（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理可得b的值，即可得S的值【详解】（1）SbcsinAbccosA，sinA2cosA，可得：tanA2，ABC中，A为锐角，又sin2A+cos2A1，可得：sinA，cosA，又C，cosBcos（A+C）cosAcosC+sinAsinC，（2）在ABC中，sinB，由正弦定理，可得：b3，SbccosA3【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18.如图，四棱锥中，PA=PD=CD=BC=1.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）推导出ADBD，PABD，从而BD平面PAD，由此能证明平面PAD平面ABCD（2）取AD中点O，连结PO，则POAD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值【详解】（1）ABCD，BCD，PAPDCDBC1，BD，ABC，AB2，AD，AB2AD2+BD2，ADBD，PABD，PAADA，BD平面PAD，BD平面ABCD，平面PAD平面ABCD（2）取AD中点O，连结PO，则POAD，且PO，由平面PAD平面ABCD，知PO平面ABCD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，0），B（，0），C（，0），P（0，0，），（1，0，0），（，），设平面PBC的法向量（x，y，z），则，取z，得（0，），（，），cos，直线PA与平面PBC所成角的正弦值为【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19.中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间/分钟总人数203644504010将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为，求的分布列和数学期望.参考公式：，其中.临界值表0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】（1）见解析；（2）（i）男生有6人，女生有4人. （ii）见解析【解析】【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）（i）由男女生所占的比例直接求解；（ii）分别求得不同取值下的概率，列出分布列，根据期望公式计算结果即可.【详解】（1）锻炼不达标锻炼达标合计男603090女9020110合计15050200由列联表中数据，计算得到的观测值为 .所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能判断“锻炼达标”与性别有关.（2）（i）“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为，故用分层抽样方法从中抽出10人，男生有6人，女生有4人.（ii）的可能取值为0，1，2；，的分布列为012的数学期望.【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样及离散型随机变量的应用问题，是基础题20.已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为.过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，直线与椭圆相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线与椭圆相交于两点，使得？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意列出关于a,b的关系式，解得a，b即可.（2）将直线与椭圆联立，将向量数量积的运算用坐标形式表示，利用根与系数之间的关系确定k的取值范围【详解】（1）在中，令，得，解得.由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长）为3，得，所以.因为直线：与椭圆相切，则.将代入，得.故椭圆的标准方程为.（2）设点，.由（1）知，则直线的方程为.联立得，则恒成立.所以， .因为，所以.即.即 ，得，得，即，解得；直线存在，且的取值范围是.【点睛】本题综合考查椭圆的性质及其应用、直线与椭圆的位置关系，考查了向量数量积的坐标运算，同时考查了基本运算能力、逻辑推理能力，难度较大21.已知函数.（1）若函数在上有2个零点，求实数的取值范围.（注）（2）设，若函数恰有两个不同的极值点，证明：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）将a分离，构造函数，利用导数研究的图像，得到a的范围.（2）由已知，求其导函数，由x1，x2是g（x）的两个不同极值点，可得a0，结合g（x1）0，g（x2）0得到，进一步得到，把问题转化为证明，将其变形后整体换元构造函数再利用导数证明0得答案【详解】（1）时，由得，令时，时，在上是减函数，在上是增函数.又，h（x）的大致图像：利用与的图像知.（2）由已知，因为，是函数的两个不同极值点（不妨设），易知（若，则函数没有或