江苏苏州高考数学必过关题9立体几何

2015届苏州市高三数学过关题9立体几何一填空题：【考点一】空间线、面平行的位置关系1给出下列命题：若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行；若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行上面命题中，假命题的序号_.【答案】解析 两直线可能平行，相交，异面；两平面平行或相交；这两个平面平行或相交.2已知,是两条不同的直线,是两个不同的平面,有下列四个命题:若,且,则;若,且,则;若,且,则;若,且,则.则所有正确命题的序号是_.【答案】 3设是平面内的两条不同直线，是平面内的两条相交直线，有下列四个命题且 且且n 且.其中是成立的充分而不必要条件的命题的序号是_【答案】： 4已知是三个不同的平面，命题“”是真命题如果把中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题 个 【答案】 25如图，是正方形，面，连接问图中有 对互相垂直的平面.【答案】7对解析面和面,面和面,面和面面和面,面和面,面和面面和面6正三棱锥中，分别是棱上的点，为边的中点，则三角形的面积为 【答案】解析由为边的中点得，又得，设交于点，由，可求得为的中点，从而，则的面积为.【考点二】空间角的概念及求法7如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是_【答案】 解析连接，则,又，易知，所以与所成角的大小是8如图长方体，底面ABCD是边长为2的正方形，=4，则二面角的正切值为 .【答案】 解析二面角的平面角即为角，可计算得其正切值为.【考点三】柱、锥、球的表面积与体积9底面边长为2，侧棱与底面成60的正四棱锥的侧面积为 【答案】解析锥高为，侧面斜高为，侧面积为10若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 【答案】解析因为半圆面的面积为，所以，即，即圆锥的母线为，底面圆的周长，所以圆锥的底面半径，所以圆锥的高，所以圆锥的体积为11如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm3【答案】6解析 长方体底面是正方形，中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）四棱锥的体积为【考点四】柱、锥、球及其组合体12一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 【答案】 6解析此球的直径即为长方体的体对角线，不难求出此长方体的三条边长为，所以此球的直径为表面积为613已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为 【答案】解析 的外接圆的半径，点到面的距离,为球的直径点到面的距离为， 此棱锥的体积为14一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中，底面如图所示，其中三棱柱的底面AEF是一个直角三角形，AEF = 90，AE = a，EF = b，三棱柱的高与正四棱柱的高均为1，则此正四棱柱的体积为 【答案】 解析设AB = x，由，得，则由，得则此正四棱柱的体积为【考点五】空间几何图形的翻折与展开15一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器当x6 cm时，该容器的容积为_cm3【答案】48解析考点：图形的翻折和锥体体积的计算由题意可知道，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧高为5 cm，高为4 cm，所以所求容积为48 cm3ABCQRA1PB1C116 已知正三棱柱的底面边长与侧棱长相等蚂蚁甲从点沿表面经过棱，爬到点，蚂蚁乙从点沿表面经过棱爬到点如图，设，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则 【答案】解析将三棱柱的侧面展开在同一平面处理【考点六】立体几何中的最值问题17在棱长为4的正方体中，、分别为棱、上的动点，点为正方形，的中心. 则空间四边形在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 .【答案】12解析如图，当与重合、与重合时，四边形在前、后面的正投影的面积最大值为12；如图，当与重合、与重合，四边形在左、右面的正投 影的面积最大值为8；如图，当与重合、与D重合时，四边形在上、下面的正投影的面积最大值为8；(E)BDCFD A1D1(F) A1B1F综上得，面积最大值为12. 18已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积取最大时，高为 . 【答案】2解析考察锥体的体积，考察函数的最值问题.设底面边长为a，则高所以，设，则，当y取最值时，解得或时，体积最大，此时.二解答题：19如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC(1)求证：平面AEC平面ABE；(2)点F在BE上若DE平面ACF，求的值解析 (1)因为ABCD为矩形，所以ABBC，因为平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，AB平面ABCD，所以AB平面BCE因为CE平面BCE，所以CEAB因为CEBE，AB平面ABE，BE平面ABE，ABBEB，所以CE平面ABE因为CE平面AEC，所以平面AEC平面ABE(2)连接BD交AC于点O，连接OF因为DE平面ACF，DE平面BDE，平面ACF平面BDEOF，所以DEOF.又因为矩形ABCD中，O为BD中点，所以F为BE中点，即20如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点D 不同FABCEDA1B1C1于点C），且为的中点求证：（1）平面平面； （2）直线平面ADE解析（1）在直三棱柱中，平面，又 平面，所以平面,所以平面,又平面,所以平面平面（2）因为,为的中点，所以,因为平面，且平面，所以又因为,所以平面又平面，所以.又平面，平面,所以直线平面ADECBADC1A121如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，是棱的中点(1)证明：平面平面；（2）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比 解析 (1) 由题设知，平面又平面，即，又，平面，平面，故平面平面（2）设棱锥的体积为，则又三棱柱的体积，故平面分此棱柱所得两部分体积的比为22如图，在四棱锥中，平面，(1) 求证：；(2) 求点到平面的距离 解析（1）因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC由BCD=900，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD因为PC平面PCD，故PCBC（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于（方法二）体积法：连结AC设点A到平面PBC的距离为h因为ABDC，BCD=900，所以ABC=900从而AB=2，BC=1，得的面积由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC又PD=DC=1，所以。由PCBC，BC=1，得的面积由，得，故点A到平面PBC的距离等于23已知是圆柱底面圆的直径， 是底面圆周上异于的任意一点，母线； (1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积的最大值解析（1）是底面圆周上异于的任意一点，是圆柱底面圆的直径，BCAC, AA1平面ABC，BC平面ABC，AA1BC，ABCA1 AA1AC=A，AA1平面AA1 C，AC平面AA1 C，BC平面AA1C.(2)解法1：设AC=x，在RtABC中，(0x2)故(0x2),即.0x2，0x24，当x2=2，即时，三棱锥A1-ABC的体积的最大值为.解法2: 在RtABC中，AC2+BC2=AB2=4，. 当且仅当 AC=BC 时等号成立，此时AC=BC=.解法3:设，则在RtABC中，. 当且仅当即 AC=BC 时等号成立，此时AC=BC=24如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，为的中点(1)求证：平面：(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值解析（1）取中点，连结，在中，分别为的中点，所以，且又已知，且，所以且，所以四边形为平行四边形 ，所以又因为平面BEC，且平面BEC所以/平面（2）在矩形中，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，又，所以，取为原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系，则设为平面BEC的一个法向量因为（1，1，0），（0，2，3），所以，令x1，得y1，z，所以，,设与平面所成角为，则sin=|cos|=所以，与平面所成角的正弦值为（3）易证平面，取为平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角为，则cos，所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为三课本改编题：25必修2（第4版）P71第20题的变式：变式1：已知点是球表面上的四个点，且两两成角，则球的表面积为 【答案】解析因为在三棱锥ABC中，两两成角，且，所以可以把该三棱锥看作为一个正方体的内接正四面体，此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点由正方体面对角线为4,得球的直径为，则球的表面积为变式2：已知四面体的三组对棱分别相等，且长分别为，则此四面体的外接球的表面积为 【答案】 解析由已知中四面体三组对棱棱长分别相等，且其长分别为，故可将其补充为一个长方体，根据外接球的直径等于长方体的对角线，即可求出球的半径说明让学生熟悉（正）四面体、正（长）方体与球的相接问题复习时建议探究：(1)直接利用正四面体来考虑外接球的半径与正四面体高的比值关系并拓展至球与正三棱锥的内切、外接关系(2)巩固运算技能，可将必修2（第4版）P69第5题作为当堂训练26必修2（第4版）P41第6题的变式：CEFADNMP变式1：如图, ,均为平行四边形,B分别为对角线上的点,且有。.求证：平面. 解析作,交于,连接,则.平面,平面.,.,.,.平面.,平面平面,而平面,平面.本题也可运用线线平行推导线面平行，在证线线平行时可添加辅助线后运用平行四边形性质或运用比例线段解决.变式2：